GEOMETRIA_PROYECTIVA

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GEOMETRIA PROYECTIVA
La Geometría Proyectiva tiene sus orígenes en la pintura del Renacimiento. Luego, en el siglo XVII se recuperarán ideas de los matemáticos griegos (las secciones cónicas, por ejemplo), pero son sin duda los pintores renacentistas los que fundamentan  esta rama de las Matemáticas al conseguir plasmar en lienzos planos los objetos y las figuras tridimensionales tal como son, a diferencia de sus antecesores de la Edad Media. Por eso no es extraño que en esta exposición aparezcan nombres  como Leonardo da Vinci, Rafael Sanzio o Alberto Durero.
La geometría proyectiva es una rama de la geometría que estudia los objetos lineales (puntos, líneas, planos, hiperplanos, etcétera) y cómo se intersectan. Estos objetos son estudiados en espacios que tiene más puntos que los espacios usuales estos espacios son llamados espacios proyectivos.
 
PLANO PROYECTIVO
Definición: Un plano proyectivo S es un conjunto, cuyos elementos son llamados puntos, y un conjunto de subconjuntos, llamados rectas, satisfaciendo los siguientes 4 axiomas. Se dice que dos rectas se cortan en un punto P cuando P es elemento de las dos rectas.
Los axiomas que definen un plano proyectivo pueden aplicarse a conjuntos finitos de puntos y rectas, situación que se aleja de la intuición geométrica más inmediata. Se tienen en este caso los planos proyectivos finitos. La Geometría Proyectiva finita fue considerada ya por von Staudt, y formalizada con todo rigor por matemáticos posteriores. Mención especial entre éstos merece Gino Fano (1871-1952) .
Axioma 1: Dos puntos distintos P, Q de S está en una y solo una recta.
Axioma 2: Cualquier dos rectas se cortan en al menos un punto.
Axioma 3: Existen tres puntos no colineales.
Axioma 4: Cada recta contiene al menos tres puntos.
Se define una terminación S de A como sigue. Los puntos s son los puntos de A, más todos los puntos ideales de A. Una recta en S es cualquiera de las siguientes:
a) Una recta ordinaria de A, mas el punto ideal 
b) La recta en el infinito, que es el conjunto de todos los puntos ideales de A.
Proposición 1: La terminación S de un plano afín A, es un plano proyectivo.
Demostración: 
Se debe demostrar que la definición dada, cumple con los 4 axiomas del plano proyectivo mencionados al principio.
Axioma 1: Sea .
1. Si son puntos ordinarios de 
y están en una y solo una recta de 
Estos puntos no están en la recta en el infinito de 
 Solo están en una recta de 
2. Si es un punto ordinario y es un punto ideal por A2 (Dada una recta y un punto que no está en , existe una y sólo una recta que es paralela a y que pasa por ), tal que
 y es decir 
para que se encuentre en una extensión de en 
Es la única recta de que contiene y 
3. Si son puntos ideales
Ambas están en la recta infinito de y solamente en esta recta.
Axioma 2: Sean rectas.
1. Si ambas rectas son ordinarias y 
 Encuentran en un punto de .
Si , 
 Está en como en 
2. Si es una recta ordinaria y es la recta infinito
 Está en y 
Axioma 3: Existen tres puntos no colineales, es decir, que no existe una recta que los contenga a los tres.
Axioma 4: Como en cada recta contiene al menos dos puntos, entonces en también contiene el punto en el infinito, es decir, tiene al menos tres puntos.
Ejemplo: 
Completando el plano afín de 4 puntos, obtenemos el plano proyectivo de 7 puntos, o plano de Fano.
Donde son los puntos y las rectas son y la recta que posee los puntos y V, que la podemos llamar . Esta última es una recta, a pesar de que la representa una circunferencia.
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