¿Qué es el teorema de Pitágoras?

El teorema de Pitágoras es un resultado elemental de la geometría, que es con seguridad el teorema más famoso del mundo. Para muchas personas de fuera de las matemáticas, es posiblemente el único nombre de teorema que pueden nombrar (el de teorema de Thales, el de Gödel, el del coseno y el del seno; son los otros teoremas famosos entre las personas de ciencias).

Existen decenas de demostraciones super intuitivas de este resultado elemental, que para mucha gente parece un misterio. De hecho en el siglo XIX era común que para obtener una maestría o licenciatura en ciencias se pidiera a los estudiantes que crearan una nueva demostración del teorema (yo habrá visto como 40 o 50 fácilmente). Mi favorita, por ser la primera que logré entender en detalle cuando era adolescente es esta:

Empleando álgebra elemental se ve que el área del cuadrado grande de lado a+ba+b es, precisamente, el lado al cuadrado:

A=(a+b)2=(a+b)(a+b)=a2+ab+ba+b2=a2+2ab+b2A=(a+b)2=(a+b)(a+b)=a2+ab+ba+b2=a2+2ab+b2

Por otra parte, el cuadrado grande puede descomponerse en el área de un cuadrado central oblicuo y más el área de cuatro triángulos pequeños:

A=c2+4ab2=c2+2abA=c2+4ab2=c2+2ab

Si igualamos las dos formas, de encontar el área, le voilà!

A=a2+b2+2ab=c2+2ab⇒a2+b2=c2A=a2+b2+2ab=c2+2ab⇒a2+b2=c2

Aunque a Pitágoras el problema que le fascinaba era lograr expresar todas las soluciones posibles de la ecuación:

a2+b2=c2a2+b2=c2

donde todos los lados fueran números enteros, las llamadas ternas pitagóricas, no es difícil demostrar que la soluciones posibles que buscaba Pitágoras son precisamente las formas:

⎧⎩⎨abc=m2−n2=2mn=m2+n2{a=m2−n2b=2mnc=m2+n2

donde m>nm>n son dos números naturales cualesquiera. Este problema ya había sido resuelto por los mesopotámicos antes del 1800 a.C., y se encontró documentado en una tablilla babilonia de arcilla, la famosísima tablilla Plimpton 322. El problema que se planteaba Pitágoras fue el origen del último teorema de Fermat que estuvo siglos sin resovler, a saber si existían soluciones enteras de la ecuación:

an+bn=cnan+bn=cn

Para n>2n>2 y que ha sido otro problema fundamental en el desarrollo de las matemáticas modernas (sólo en 1995 se pudo demostrar rigurosamente que no existen dichas soluciones).