Vibraciones_Mecanicas (2)

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Apuntes de Vibraciones Mecánicas
MC571-Resumen Teórico Basado en los Apuntes de los Docentes
Autor: Lawliet
Instituto: Universidad Nacional de Ingeniería-FIM
Versión: 1.0
Si en el crepúsculo, el sol era memoria, ya no me acuerdo.
Índice general
Capítulo 1 Vibraciones Sin Amortiguamiento 1
Capítulo 2 Vibraciones Amortiguadas 2
Capítulo 3 Vibraciones Forzadas 3
3.1 Respuesta de un sistema amortiguado sometido a F0eiωt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
3.2 Vibraciones con excitación de Base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
Capítulo 1 Vibraciones Sin Amortiguamiento
Capítulo 2 Vibraciones Amortiguadas
Capítulo 3 Vibraciones Forzadas
3.1 Respuesta de un sistema amortiguado sometido a F0eiωt
Representemos la función forzada armónica en forma compleja como F (t) = F0eiωt de modo que la ecuación de
movimiento se escriba como
mẍ+ cẋ+ kx = F0e
iωt
Como la parte real de F (t) da la excitación real, la parte real de x(t) también dará sólo la respuesta, donde x(t) es una
cantidad compleja que satisface la ecuación diferencial anterior. F0 es, en general, un número complejo. Suponiendo la
solución particular xp(t)
xp(t) = Xe
iωt
obtenemos, al sustituir:
X =
F0
(k −mω2) + icω
(3.1)
Multiplicando el numerador y el denominador del lado derecho de la ecuación por
[(
k −mω2
)
− icω
]
y separando las
partes real e imaginaria, obtenemos
X = F0
[
k −mω2
(k −mω2)2 + c2ω2
− i cω
(k −mω2)2 + c2ω2
]
Utilizando la relación x+ iy = Aeiϕ, donde A =
√
x2 + y2y tanϕ = y/x, y la ecuación anterior se expresa como
X =
F0[
(k −mω2)2 + c2ω2
]1/2 e−iϕ
donde
ϕ = tan−1
(
cω
k −mω2
)
Por lo tanto, la solución de estado estable, se escribe como
xp(t) =
F0[
(k −mω2)2 + (cω)2
]1/2 ei(ωt−ϕ) (3.2)
3.1.1 Respuesta en frecuencia:
Podemos reescribir (3.1) cómo:
kX
F0
=
1
1− r2 + i2ξr
= H(iω)
donde H(iω) se conoce como la respuesta de frecuencia compleja del sistema. El valor absoluto de H(iω) está dada por
|H(iω)| =
∣∣∣∣kXF0
∣∣∣∣ = 1[
(1− r2)2 + (2ξr)2
]1/2
indica el factor de amplificación. Recordando que eiϕ = cosϕ+ i sen ϕ, podemos demostrar que las ecuaciones están
relacionadas:
H(iω) = |H(iω)|e−ϕ
donde ϕ se obtiene de la sección previa, la cual también se puede expresar como
ϕ = tan−1
(
2ξr
1− r2
)
Por lo tanto, la ecuación (3.2) se expresa como
xp(t) =
F0
k
|H(iω)|ei(ωt−ϕ)
3.2 Vibraciones con excitación de Base
Se ve que la función de respuesta de frecuencia compleja,H(iω), contiene tanto la magnitud como la fase de la respuesta de
estado estable. Si F (t) = F0 cosωt, la parte real de la ecuación proporciona la solución de estado estable correspondiente:
xp(t) =
F0[
(k −mω2)2 + (cω)2
]1/2 cos(ωt− ϕ)
= Re
[
F0
k
H(iω)eiωt
]
= Re
[
F0
k
|H(iω)|ei(ωt−ϕ)
]
la cual es igual a la ecuación xp(t). Asimismo, si F (t) = F0 sen ωt, la parte imaginaria de la ecuación da la solución de
estado estable correspondiente:
xp(t) =
F0[
(k −mω2)2 + (cω)2
]1/2 sen(ωt− ϕ)
= Im
[
F0
k
|H(iω)|ei(ωt−ϕ)
] (3.3)
3.2 Vibraciones con excitación de Base
En ocasiones la base o soporte de un sistema de resorte-masa-amortiguador experimenta movimiento armónico, como
se muestra en la figura:
De los diagramas de cuerpo libre tendremos:
mẍ+ c(ẋ− ċ) + k(x− y) = 0
Si y(t) = Y sen ωt, la ecuación anterior se escribe cómo
mẍ+ cẋ+ kx =ky + cẏ = kY senωt+ cωY cosωt
= A sen(ωt+ α)
(3.4)
dondeA = Y
√
k2 + (cω)2 yα = tan−1
[
− cωk
]
. Esto demuestra que excitar la base equivale a aplicar una fuerza armónica
de magnitud A a la masa. Utilizando la solución indicada por la ecuación (3.3), la respuesta de estado estable de la masa,
xp(t), se puede expresar como
xp(t) =
Y
√
k2 + (cω)2[
(k −mω2)2 + (cω)2
]1/2 sen (ωt− ϕ1 − α)
donde
ϕ1 = tan
−1
(
cω
k −mω2
)
Si reconsideramos estas ecuaciones con la notación del docente, partiendo de reescribir (3.4) cómo:
ẍ+
( c
m
)
ẋ+
k
m
x = ymáx
[
k
m
senωbt+
c
m
ωb cosωbt
]
Se tendrán soluciones de la forma:
x(1)p =
2ξωMASωbymáx cos (ωbt− ϕ1)√
(ω2MAS − ω2b)
2
+ (2ξωMASωb)
2
, tanϕ1 =
2ξωMASωb
ω2MAS − ω2b
4
3.2 Vibraciones con excitación de Base
Simplificamos considerando r = ωbωMAS , para obtener:
x(1)p =
2ξrymáx cos (ωbt− ϕ1)√
(1− r2)2 + (2ξr)2
, tanϕ1 =
2ξr
1− r2
La otra solución será de la forma:
x(2)p =
ω2MASymáx sen (ωbt− ϕ1)√
(ω2MAS − ω2b)
2
+ (2ξωMASωb)
2
=
ymáx sen (ωbt− ϕ1)√
(1− r2)2 + (2ξr)2
Luego aplicamos superposicón, es decir:
xp(t) = x
(1)
p + x
(2)
p
Con lo que podemos simplificar para obtener:
xp = = ωMAS ymáx
√√√√ ω2MAS + (2ξωb)2
(ω2MAS − ω2b)
2
+ (2ξωMASωb)
2
cos (ωbt− ϕ1 − ϕ2) (3.5)
xp = ymáx
√
1 + (2ξr)2
(1− r2)2 + (2ξr)2
cos (ωbt− ϕ1 − ϕ2) , tanϕ2 =
1
2ξr
3.2.1 Transmisibilidad
Utilizando identidades trigonométricas, (3.4) se reescribe en una forma más conveniente como
xp(t) = X sen(ωt+ ϕ)
donde X y ϕ se expresan como
X
Y
=
[
k2 + (cω)2
(k −mω2)2 + (cω)2
]1/2
=
[
1 + (2ξr)2
(1− r2)2 + (2ξr)2
]1/2
y
ϕ = tan−1
[
mcω3
k (k −mω2) + (ωc)2
]
= tan−1
[
2ξr3
1 + (4ξ2 − 1) r2
]
La relación de la amplitud de la respuesta xp(t) a la del movimiento de la base y(t),
X
Y
, se llama transmisibilidad del
desplazamiento. Las variaciones de XY ≡ Td y ϕ dadas por las ecuaciones se aproximan a la respuesta en frecuencia
mostrada en:
0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2 1,4 1,6 1,8 2 2,2 2,4 2,6 2,8 3
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
ω/ωn
|G
(i
ω
)|
Frequency Response Magnitude
0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2 1,4 1,6 1,8 2 2,2 2,4 2,6 2,8 3
0
1,57
3,14
ω/Xω
ϕ
(ω
)
Frequency Response Phase Angle
5
3.2 Vibraciones con excitación de Base
Observe que si la excitación armónica de la base se expresa en forma compleja como y(t) = Re
(
Y eiωt
)
, la respuesta del
sistema se expresa como
xp(t) = Re
{(
1 + i2ξr
1− r2 + i2ξr
)
Y eiωt
}
y la transmisibilidad de desplazamiento como
X
Y
= Td =
[
1 + (2ξr)2
]1/2 |H(iω)|
Los siguientes aspectos de la transmisibilidad del desplazamiento, Td = XY , se pueden considerar:
1. El valor de Td es unitario en r = 0 y se aproxima a la unidad con valores pequeños de r.
2. Para un sistema no amortiguado (ξ = 0), Td → ∞ en resonancia (r = 1).
3. El valor de Td es menor que la unidad (Td < 1) para valores de r >
√
2 (para cualquier cantidad de amortiguamiento).
4. El valor de Td es unitario para todos los valores de ξ y con r =
√
2.
5. Para r <
√
2, las relaciones de amortiguamiento pequeñas conducen a valores grandes de Td. Por otra parte, para
r >
√
2, los valores pequeños de la relación de amortiguamiento conducen a valores pequeños de Td
6. La transmisibilidad del desplazamiento, Td, alcanza un valor máximo con 0 < ξ < 1 a la relación de frecuencia
r = rm < 1 dada por:
rm =
1
2ξ
[√
1 + 8ξ2 − 1
]1/2
Demostración Para obtener el valor máximo derivamos:
dT
dr
=
1
2
[
1 + 4ξ2r2
(1 + r4 − 2r2) + 4ξ2r2
]− 12 [(1− r2)2 + (2ξr)2] (8ξ2r)− (1 + 4ξ2r2) [4r3 − 4r + 8ξ2r](
(1− r2)2 + (2ξr)2
]2 = 0
Simplificando tenemos:
2ξ2r4 + r2 − 1 = 0
Teniendo la solución:
r = rm =
1
2ξ
√√
1 + 8ξ2 − 1
3.2.2 Fuerza Transmitida
Una fuerza, F , se transmite a la base o soporte debido a las reacciones del resorte y el amortiguador hidráulico. Esta
fuerza se determina como:
F = −mẍ = k(x− y) + c(ẋ− ẏ)
De acuerdo a lo desarrollado previamente se tendrá:
F = mω2Xsen(ωt− ϕ) = FT sen(ωt− ϕ)
Que usando la teoría previamente desarrollada es:
F (t) = mω2bωMASymáx
√√√√ ω2MAS + (2ξωb)2
(ω2MAS − ω2b)
2
+ (2ξωMASωb)
2
cos (ωbt− ϕ1 − ϕ2)
Haciendo F (t) = Ftr cos (ωbt− ϕ1 − ϕ2), y hallando por comparación Ftr , se obtiene:
Ftr = kymáx r
2
√
1 + (2ξr)2
(1− r2)2 + (2ξr)2
Y la transmisibilidad de fuerzas queda definida por:
TR =
F tr
kymáx
= r2
√
1 + (2ξr)2
(1− r2)2 + (2ξr)2
6
3.2 Vibraciones con excitación de Base
La variación de la fuerza transmitida a la base con la relación de frecuencia r se muestra en la figura:
3.2.3 Vibraciones con Rotores Desbalanceados
Se deben esencialmente a la distribución irregular de una masa rotativa, la cual puede producir grandes vibraciones.
Los ejemplosmás comunes lo constituyen los motores eléctricos, las turbinas, los ventiladores, las lavadoras y las ruedas
de los automóviles, que suelen portar masas excéntricas causantes de la vibración.
El análisis gráfico sería:
La ecuación de movimiento será
(M −m)ẍ+m d
2
dt2
(x+ e sinωt) = −kx− cẋ
que se reescribe como
Mẍ+ cẋ+ kx =
(
meω2
)
sinωt
Y vemos que se tiene la forma ya desarrollada son F (x) reemplazado con meω2, por tanto basta reemplazar:
X =
meω2√
(k −Mω2)2 + (cω)2
y
tanϕ =
cω
k −Mω2
7
3.2 Vibraciones con excitación de Base
Lo que se puede simplificar en:
M
m
X
e
=
(
ω
ωn
)2
√[
1−
(
ω
ωn
)2]2
+
[
2ξ ωωn
]2 , tanϕ =
2ξ
(
ω
ωn
)
1−
(
ω
ωn
)2
Es decir:
A =
me
M
r2√
(1− r2)2 + (2ξr)2
, tanϕ =
2ξr
1− r2
La fuerza transmitida a la base producida por la fuerza desbalanceada rotatoria estará dada por:
|F | = meω2
√
1 + 4ξ2r2
(1− r2)2 + 4ξr2
La ecuación de movimiento es:
x(t) = X1e
−ξωnt sen
(√
1− ξ2ωnt+ ϕ1
)
+
meω2√
(k −Mω2)2 + (cω)2
sen(ωt− ϕ)
K Ejercicios Resueltos k
Ejemplo 3.1 Un ventilador axial para uso en la industria minera tiene una masa M = 1800 kg, y está anclado a un terreno
sobre el cual se requieren controlar los altos desplazamientos de su base de apoyo debido a la vibración de la máquina.
El anclaje de toda la máquina permite asegurar que el factor de amortiguamiento sea como máximo ξ = 0,96, y el rotor,
cuya rapidez constante y óptima para la ventilación es 3 600 rpm, debe asegurar que el índice de transmisibilidad por
desplazamiento no exceda de 0,48. Asimismo, la masa excéntrica al rotor, de masa 12 kg, debe asegurar, según ensayos,
que la amplitud en estado estable del ventilador no exceda de 0,05 mm. Con la información brindada, calcular, para el
montaje del ventilador:
(a) La constante elástica equivalente
(b) El coeficiente de amortiguamiento equivalente
(c) La excentricidad e de la masa desbalanceada del ventilador, que asegura que no se exceda la amplitud dada
(d) La nueva rapidez del rotor para el caso en que ξ = 1 , pero sin alterar la amplitud dada
8
3.2 Vibraciones con excitación de Base
Ejemplo 3.2 Durante su navegación a velocidad constante, un buque desplaza una masa total de 150 000 toneladas sobre
un océano cuya marea, agitada por una tormenta de viento, vibra de la forma ym(t) = 2 sen(0,5πt) (metros).
La estructura del buque tiene una constante elástica equivalente keq = 50 MN/m sin embargo, para controlar su vibración
contra posibles futuras tormentas, el factor de amortiguamiento ξ debe ser tal que los índices de transmisibilidad por
desplazamiento y por fuerza no excedan de 0,5 y 5 respectivamente. Calcular:
(a) El único valor de ξ que hace posible que no se excedan los índices dados
(b) La amplitud en estado estable correspondiente al valor de ξ hallado en (a)
(c) La sensación de aceleración máxima de desplazamiento vertical del buque
Solución: Se cumple:
r =
ωb
ωmas
=
0,5π√
50·106
1,5·108
= 2,7207
Aplicamos desplazamiento:
TRδ =
√
1 + (2ξr)2
(1− r2)2 + (2ξr)2
≤ 0,5
Si resolvemos:
ξ ≤ 0,645299
Por fuerza:
TRF = r
2
√
1 + (2ξr)2
(1− r2)2 + (2ξr)2
≤ 5
Se tiene:
ξ ≤ 1,04858
De ambas soluciones se tiene que ξmáx = 0,6453.
(b) La amplitud será:
A = ymáx =
√
1 + (2ξr2)
(1− r2)2 + (2ξr)2
= 2
√
1 + (1,0486)2
(1− 1,04862)2 + (2 ∗ 1,0486 ∗ r)2
= 0,507818
(c) Se cumple que: (ẍp)máx = −ω2bA. Con lo que la sensación será de −1,253 m/s2.
Ejemplo 3.3 (Resuelto)
9
3.2 Vibraciones con excitación de Base
10
	1 Vibraciones Sin Amortiguamiento
	2 Vibraciones Amortiguadas
	3 Vibraciones Forzadas
	3.1 Respuesta de un sistema amortiguado sometido a F0eit
	3.2 Vibraciones con excitación de Base