función se aproximan a valores distintos, podemos asegurar que la función no tiene límite doble en ese punto porque el límite, de existir, debe ser único. Pero si al recorrer esos caminos siempre llegamos al mismo valor, no podemos asegurar ni la existencia ni la no existencia del límite, porque que la función, al acercarnos por determinados caminos, se aproxime a un mismo valor no quiere decir que por todos los caminos se llegue al mismo valor. Límites sucesivos o reiterados En este caso se hace tender a su límite primero una variable, dejando fija la otra, y luego ésta en la función así obtenida. lo que significa que cuando nos acercamos al punto (1;2), por cualquier camino, los valores de la función se aproximan a –3. Alejandro E. García Venturini52 ( ) ( ) 00 0 1 y x x yy y L = f x; y = ylim lim lim φ → → → ( ) ( )x lim =x;y flimlim = L xxyyxx ϕ 000 2 →→→ En L1 se hacer tender primero la variable x a x0, y luego la variable y a y0 en la función de y que queda en el paréntesis. Eso equivale a acercarnos al punto primero según x y luego según y. En L2 se hacer tender primero la variable y a y0, y luego la variable x a x0 en la función de x que queda en el paréntesis. Eso equivale a acercarnos al punto primero según y y luego según x. Si L1 ≠ L2, por lo ya visto, no existe el límite doble L. Si L1 = L2, no se sabe que ocurre. Hay que recorrer otros caminos. Si por los otros caminos el límite sigue dando lo mismo, seguimos sin saber que ocurre con el límite doble de la función en ese punto. Si por alguno de esos otros caminos llegamos a un valor distinto, entonces podemos asegurar que el límite doble no existe. Nota importante: cuando se empieza a transitar por los distintos caminos podemos llegar a concluir la no existencia del límite doble, nunca podemos asegurar la existencia del límite doble porque nunca podemos agotar los infinitos caminos. Veamos como aplicar los límites reiterados al ejemplo anterior: 1 2 2 02 2 00 1 = y y lim = yx+ yx+ limlim=L yxy →→→ Límite y continuidad 53 ≠ →→→ LL = x x lim = yx+ yx+ limlim=L xyx 21 02 2 00 2 222 Límite radial Se llama así al límite cuando el camino elegido son las rectas que pasan por el punto. Si tenemos en cuenta la ecuación de la recta que pasa por un punto: y = m (x – x0) + y0, donde m es la pendiente de la recta queda: ( ) ( ) ( ) x;y flimL yxxmy ;yxx;y r 00 00 +−= → = Observemos que al hacer la sustitución y = m (x – x0 ) + y0, el límite se transforma en un límite de una sola variable, por lo tanto para su resolución valen todas las propiedades vistas en Análisis I para funciones de una variable. Haciendo variar m se obtienen las infinitas rectas que pasan por el punto. Cada recta significa un camino distinto. Si por todos los caminos rectos se llega al mismo valor, decimos que existe el límite radial. Pero esto no asegura la existencia del límite doble, ya que existen infinitos caminos que no son rectos para llegar al punto que hay que analizar para asegurar la existencia del límite doble. Si el límite radial depende de m podemos asegurar que el límite doble no existe pues por distintos caminos se llega a valores distintos. Veamos los siguientes ejemplos 1) volvamos al ejemplo visto anteriormente: ( ) ( ) 2 2 0 0 2 0 0x;y ; x x y mx x + m xx+ mxx+ yL =lim lim lim x+ y x + m xx+ mx→ → → = / = = = = / obtenemos una indeterminación, recurrimos al límite radial no existe límite doble Alejandro E. García Venturini54 Esto significa que cualquiera sea la recta que elijamos para acercarnos al punto, en este caso el origen de coordenadas, el valor al que se aproxima la función siempre es el mismo. Pero esto no asegura la existencia del límite doble. Ya hemos visto que el límite doble de esta función en el origen no existe por ser los límites reiterados distintos. 2) ( ) ( ) 0 0 2 2 00 → →= → x+y yx+ limL ;x;y ( ) ( ) ( )0 0 0 0 1 22 2 1 2 2 2 2 2r x;y ; x x y mx x + mx+ y x+ mx + mL = lim lim lim x+ y x+ mx x + m + m→ → → = /= = = = En este caso el límite radial depende de m, lo que significa que para cada recta la función se aproxima a un valor distinto, por lo tanto el límite doble de la función en el origen no existe. Límite parabólico Si los límites reiterados y radial fuesen iguales, debemos probar por otros caminos, por ejemplo parabólicos, hasta encontrar un camino para el cual el límite sea distinto. Si por distintos caminos seguimos obteniendo el mismo límite no podemos saber si el límite doble existe o no. Ejemplo ( ) ( ) ( )2 2 2 4 24 2 44 20 0 0 0 2 2 2 1 3 4 23 p x;y ; x x y x x .x xL = lim lim lim x + y xx + x→ → → = = = Hemos encontrado un camino por el cual la función se aproxima a un valor distinto, por lo tanto podemos asegurar que el límite doble no existe. Nota: la curva que elijamos debe pasar por el punto, en este caso la parábola y = x2 pasa por P0 = (0;0). Propiedades de los límites Para las funciones de dos variables valen las mismas propiedades que para los límites de una variable. Es decir que el límite, si existe, es único. El límite de la suma, resta, producto o cociente de funciones es igual a la suma, resta, producto o cociente de los límites. En este último caso si el límite del denominador es ≠ 0. El producto entre un infinitésimo y una función acotada es otro infinitésimo. El cálculo de los límites reiterados y radiales ayudan a determinar la existencia del límite doble. Veamos las relaciones que se verifican entre ellos. 1) Si ∃L, L1, L2, Lr y Lp, estos deben ser iguales, es decir L = L1 = L2 = Lr = Lp. 2) Si L1 ≠ L2 o L1 = L2 ≠ Lr o L1 = L2 = Lr ≠ Lp ∃/ L, es decir que si algunos de los límites que encontramos son distintos, el límite doble no existe. 3) L1 = L2 = Lr = Lp no se sabe si existe el límite doble L. 4) Puede ∃L y no existir L1 o L2. Teorema de la unicidad: Si existe el límite doble, éste es único. Dem.) suponemos que f tiene dos límites distintos L1 y L2. Elegimos 2 ε=h . a) ( ) 21 ε<− Ly;xf en un ( )[ ]100 h;y;x*E Alejandro E. García Venturini56 b) ( ) 22 ε<− Ly;xf en un ( )[ ]200 h;y;x*E Si consideramos h = mín {h1; h2}, a) y b) se cumplirían en ( )[ ]h;y;x*E 00 .