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P ro fe so r: A la n S o sa C a u ti EL PRIMER GRUPO DE ESTUDIOS UNI ¡EUREKA! Definición: Notación: △ 𝐴𝐵𝐶 ≅△ 𝑃𝑄𝑅 ≅: se lee es congruente a: • En triángulos congruentes a lados de igual longitud se le oponen ángulos de igual medida y viceversa. Observación: • De la notación la correspondencia entre vértices es: 𝐴 − 𝑃, 𝐵 − 𝑄 y 𝐶 − 𝑅. Es decir: 𝐴𝐵 = 𝑃𝑄 y 𝑚∢𝐴𝐵𝐶 = 𝑚∢𝑃𝑄𝑅. En el gráfico los triángulos 𝐴𝐵𝐶 y 𝐴´𝐵´𝐶´ son congruentes. 𝑷𝑸 = 𝑷´𝑸´ Donde 𝑃 − 𝑃´ y 𝑄 − 𝑄´ son dos pares de puntos que se corresponden en ambos triángulos. Entonces: Dos triángulos son congruentes, si para dos pares de puntos que se corresponden la distancia entre ellos (de un mismo triángulo) es constante. P ro fe so r: A la n S o sa C a u ti EL PRIMER GRUPO DE ESTUDIOS UNI ¡EUREKA! Para que dos triángulos sean congruentes deben cumplir uno de los siguientes casos congruencia: Casos de Congruencia: 1. Lado – Ángulo – Lado: 𝑳 − 𝑨 − 𝑳 En el gráfico: 𝐴𝐵 = 𝑀𝑁 = 𝑐 𝐵𝐶 = 𝑁𝐿 = 𝑎 y, 𝑚∢𝐴𝐵𝐶 = 𝑚∢𝑀𝑁𝐿 = 𝛼 → △𝑨𝑩𝑪 ≅△𝑴𝑵𝑳 2. Ángulo – Lado – Ángulo: 𝑨 − 𝑳 − 𝑨 En el gráfico: 𝑚∢𝑄𝑃𝑅 = 𝑚∢𝑁𝑀𝐿 = 𝛼 , 𝑃𝑅 = 𝑀𝐿 = 𝑎 y 𝑚∢𝑃𝑅𝑄 = 𝑚∢𝑀𝐿𝑁 = 𝛽 → △𝑷𝑸𝑹 ≅△𝑴𝑵𝑳 Dos triángulos son congruentes, si tiene dos lados respectivamente de igual longitud y el ángulo determinado por ellos de igual medida. Si dos triángulos tienen un lado de igual longitud respectivamente y los ángulos adyacentes a este lado respectivamente de igual medida, entonces dichos triángulos son congruentes. P ro fe so r: A la n S o sa C a u ti EL PRIMER GRUPO DE ESTUDIOS UNI ¡EUREKA! 3. Lado – Lado – Lado: 𝑳 − 𝑳 − 𝑳 En el gráfico: 𝐴𝐵 = 𝑃𝑄 = 𝑐 𝐵𝐶 = 𝑄𝑅 = 𝑎 y , 𝐴𝐶 = 𝑃𝑅 = 𝑏 → △ 𝑨𝑩𝑪 ≅△ 𝑷𝑸𝑹 4. Ángulo – Lado – Lado mayor: 𝑨 − 𝑳 − 𝑳𝒎 En el gráfico: 𝑚∢𝐵𝐴𝐶 = 𝑚∢𝑁𝑀𝐿 = 𝛼 , 𝐴𝐵 = 𝑀𝑁 = 𝑐 y 𝐵𝐶 = 𝑁𝐿 = 𝑎 → △ 𝑨𝑩𝑪 ≅△𝑴𝑵𝑳 siendo: 𝐵𝐶 > 𝐴𝐵 𝑎 > 𝑐 Observación: Por lo general de los cuatro casos de congruencia se considera al primero 𝐿 − 𝐴 − 𝐿 como postulado y los demás se demuestran a partir de él. Dos triángulos son congruentes si tienen sus tres lados de igual longitud respetivamente. P ro fe so r: A la n S o sa C a u ti EL PRIMER GRUPO DE ESTUDIOS UNI ¡EUREKA! Congruencia entre Triángulos Rectángulos: Ejercicios: En cada uno de los pares de triángulos indicar si son congruentes (que caso de congruencia cumplen) o no: P ro fe so r: A la n S o sa C a u ti EL PRIMER GRUPO DE ESTUDIOS UNI ¡EUREKA! Trazos auxiliares: “En un triángulo cuando la medida de un ángulo es el doble de otro” Trazar la ceviana interior 𝐵𝑃 tal que 𝑚∢𝐶𝐵𝑃 = 𝜃 Se cumple: 𝐵𝑃 = 𝑃𝐶 = 𝑎 𝐴𝐵 = 𝐵𝑃 = 𝑎 y Trazar la ceviana exterior 𝐵𝑄 tal que 𝑚∢𝐴𝐵𝑄 = 𝜃 𝐵𝐴 = 𝐴𝑄 = 𝑎 𝑄𝐵 = 𝐵𝐶 = 𝑏 y → P ro fe so r: A la n S o sa C a u ti EL PRIMER GRUPO DE ESTUDIOS UNI ¡EUREKA! “Cuando dos segmentos son perpendiculares en sus extremos y de igual longitud” Trazar las perpendiculares 𝐴𝐻 ⊥ ി𝐿 𝐶𝐹 ⊥ ി𝐿y Entonces: △ 𝐴𝐻𝐵 ≅△ 𝐵𝐹𝐶 Es decir: 𝐴𝐻 = 𝐵𝐹 𝐵𝐻 = 𝐶𝐹 Se trazan las perpendiculares 𝐴𝐺 ⊥ ി𝐿 𝐶𝐽 ⊥ ി𝐿y Entonces: △ 𝐴𝐺𝐵 ≅△ 𝐵𝐽𝐶 Es decir: 𝐴𝐺 = 𝐵𝐽 𝐵𝐺 = 𝐶𝐽 Si una recta ി𝐿 pasa por el vértice del ángulo recto P ro fe so r: A la n S o sa C a u ti EL PRIMER GRUPO DE ESTUDIOS UNI ¡EUREKA! PROBLEMA: RESOLUCIÓN: En el figura 𝐴𝐵 = 𝑅𝐶, calcule 𝑥. A) 8° B) 10° C) 12° D) 14° E) 15° 𝑨𝒅𝒎𝒊𝒔𝒊ó𝒏 𝑼𝑵𝑰 𝟐𝟎𝟏𝟔 − 𝑰 • Piden: 𝑥 • Trazamos la ceviana 𝑅𝑆 tal que: 𝑚∢𝐶𝑅𝑆 = 6𝑥 • Por ángulo exterior en el △𝑅𝑆𝐶: 𝑚∢𝑅𝑆𝐵 = 7𝑥 • △𝐵𝑅𝑆: isósceles 𝐵𝑅 = 𝑅𝑆 = 𝑏→ • △𝐴𝐵𝑅 ≅△ 𝐶𝑅𝑆: 𝐿 − 𝐴 − 𝐿 → 𝑚∢𝐵𝐴𝑅 = 𝑥 • △𝐴𝐵𝐶: 𝑥 + 13𝑥 + 𝑥 = 180° ∴ 𝑥 = 12° P ro fe so r: A la n S o sa C a u ti EL PRIMER GRUPO DE ESTUDIOS UNI ¡EUREKA! APLICACIONES DE LA CONGRUENCIA ✓ TEOREMA DE LA BISECTRIZ: Todo punto de la bisectriz de un ángulo equidista (esta a igual distancia) de los lados de dicho ángulo. Observación: En el gráfico: 𝑂𝑃 es bisectriz del ∢𝐴𝑂𝐵 Se cumple: 𝑎 = 𝑏 𝑚 = 𝑛 Nota: y La bisectriz de un ángulo también se le conoce como un eje de simetría (espejo). En el gráfico: 𝑂𝑃 es bisectriz del ∢𝐴𝑂𝐵 𝐴´ es el simétrico (reflejo) de 𝐴 respecto de la bisectriz 𝑂𝑃 Teorema: Se cumple: 𝑥 = 𝑦 En el gráfico P ro fe so r: A la n S o sa C a u ti EL PRIMER GRUPO DE ESTUDIOS UNI ¡EUREKA! ✓ TEOREMA DE LA MEDIATRIZ: Todo punto de la mediatriz de un segmento equidista de los extremos de dicho segmento. Sea ിℒ mediatriz de 𝐴𝐵 Si 𝑃 pertenece a ിℒ 𝑨𝑷 = 𝑷𝑩 𝒙 = 𝒚 entonces: “La utilidad de la mediatriz es formar triángulos isósceles” Importante: En todo triángulo isósceles la altura relativa a la base es también bisectriz y mediana. Observación: además: P ro fe so r: A la n S o sa C a u ti EL PRIMER GRUPO DE ESTUDIOS UNI ¡EUREKA! ✓ TEOREMA DE LOS PUNTOS MEDIOS: ✓ TEOREMA DE LA BASE MEDIA: Toda recta trazada por el punto medio de un lado de un triángulo paralela a otro lado, interseca al tercer lado en su punto medio. En todo triángulo, una base media es paralela al tercer lado y su longitud es la mitad de la longitud de dicho lado. En el gráfico 𝑀 es punto medio de 𝐴𝐵 y ിℒ ∥ 𝐴𝐶 tal que ിℒ ∩ 𝐵𝐶 = 𝑁 Entonces: 𝒂 = 𝒃 Notas: • En el gráfico 𝑀𝑁 es la base media. • Todo triángulo posee tres bases medias. En el gráfico 𝐹 y 𝐺 son puntos medios de 𝐴𝐵 y 𝐴𝐶 Entonces: 𝒚 = 𝟐𝒙 𝒙 = 𝟐𝒚 𝐹𝐺: Base media 𝑭𝑮 ∥ 𝑩𝑪 P ro fe so r: A la n S o sa C a u ti EL PRIMER GRUPO DE ESTUDIOS UNI ¡EUREKA! ✓ TEOREMA DE LA MEDIANA RELATIVA A LA HIPOTENUSA: En todo triángulo rectángulo la longitud de la mediana relativa a la hipotenusa es la mitad de la longitud de dicha hipotenusa. Teoremas Adicionales: Se tiene el ⊿ rectángulo 𝐴𝐵𝐶, recto en 𝐵, Si 𝐵𝑀 es mediana (menor mediana), donde 𝐴𝑀 = 𝑀𝐶 = 𝑚 → 𝒙 = 𝒎 En el gráfico: 𝑚∢𝐴𝐵𝐶 = 90° 𝐴𝑃 = 𝑃𝐵 = 𝑚 Se cumple: 𝑥 = 𝑚 En el gráfico: 𝐴𝑄 = 𝑄𝐶 = 𝐵𝑄 = 𝑚 Se cumple: 𝜔 = 90° P ro fe so r: A la n S o sa C a u ti EL PRIMER GRUPO DE ESTUDIOS UNI ¡EUREKA! TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS NOTABLES Son aquellos triángulos rectángulos en el cual a partir de sus medidas angulares se conoce la razón de las longitudes de sus lados y recíprocamente. ✓ TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS NOTABLES EXACTOS: Notable de 45° y 45° Notable de 30° y 60° Notable de 15° y 75° Observaciones: Importante: Prolongamos 𝐵𝐶 hasta 𝐽, tal que: 𝐶𝐽 = 𝐴𝐶 = 𝑎 P ro fe so r: A la n S o sa C a u ti EL PRIMER GRUPO DE ESTUDIOS UNI ¡EUREKA! Teorema: 𝑚∢𝐴𝐶𝐵 = 75°, 𝐴𝐶 = 2 𝐵𝐻 𝒙 = 𝟑𝟎°→ En el gráfico, si: 𝐵𝐻: altura y Demostración: Teorema: • Prolongamos 𝐶𝐴 hasta 𝑆 tal que: 𝑚∢𝐶𝐵𝑆 = 90° • ⊿𝑆𝐵𝐶: Notable de 15° → 𝑆𝐶 = 4𝑏 • Por el teorema de la mediana relativa a la hipotenusa: 𝐴𝐵 = 2𝑏 • ⊿𝐴𝐻𝐵: Notable de 30° ∴ 𝑥 = 30°∎ Se cumple: 𝒙 = 𝟕𝟓° P ro fe so r: A la n S o sa C a u ti EL PRIMER GRUPO DE ESTUDIOS UNI ¡EUREKA! ✓ TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS NOTABLES APROXIMADOS: Notable de 53°/2Notable de 37° y 53° Notable de 37°/2 Observaciones: Notable de 8° y 82° Notable de 31° y 59° Notable de 14° y 76° Notable de 16° y 74° P ro fe so r: A la n S o sa C a u ti EL PRIMER GRUPO DE ESTUDIOS UNI ¡EUREKA! Teorema del Cóncavo 1: En el gráfico: 𝐴𝐷 = 𝐷𝐶 = 𝐵𝐶 𝑚∢𝐵𝐶𝐷 = 2 𝑚∢𝐵𝐴𝐷 = 2𝜃 Se cumple: y 𝒙 = 𝟏𝟐𝟎° − 𝜽 Demostración: •△ 𝐵𝐶𝐷: isósceles → 𝑚∢𝐷𝐵𝐶 = 90° − 𝜃 • Trazamos la altura 𝐵𝐻 del △ 𝐵𝐶𝐷. → 𝑚∢𝐵𝐶𝐻 = 𝑚∢𝐷𝐶𝐻 = 𝜃 y 𝐵𝐻 = 𝐻𝐷 = 𝑛 • Trazamos 𝐷𝑆 ⊥ 𝐴𝐵. •△ 𝐴𝑆𝐷 ≅△ 𝐶𝐻𝐵: 𝐴𝐿𝐴 → 𝑆𝐷 = 𝑛 • ⊿𝐵𝑆𝐷: notable → 𝑚∢𝑆𝐵𝐷 = 30° ∴ 𝑥 = 120° − 𝜃∎ Nota: Además, la medida del ángulo 𝐵𝐴𝐶 es 30° P ro fe so r: A la n S o sa C a u ti EL PRIMER GRUPO DE ESTUDIOS UNI ¡EUREKA! Teorema del Cóncavo 2: En el gráfico:𝐴𝐵 = 𝐵𝐶 = 𝐶𝐷 𝑚∢𝐵𝐶𝐷 = 2 𝑚∢𝐵𝐴𝐷 = 2𝜃 Se cumple: y 𝒙 = 𝟏𝟐𝟎° − 𝟐𝜽
