Prueba de hipótesis para la media

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Prueba de hipótesis para la media
JORGE LUIS VILLALBA ACEVEDO
UTB
JORGE LUIS VILLALBA ACEVEDO Prueba de hipótesis para la media
3.3 Contrastes para la media pobalcional.
a) Tener en cuenta los supuestos de la tabla relacionada con
distribución muestral de medias.
b) Las distribuciones a utilizar serán la z o la t de Student con
v = n − 1 grados de libertad.
JORGE LUIS VILLALBA ACEVEDO Prueba de hipótesis para la media
3.3 Contrastes para la media pobalcional.
a) Tener en cuenta los supuestos de la tabla relacionada con
distribución muestral de medias.
b) Las distribuciones a utilizar serán la z o la t de Student con
v = n − 1 grados de libertad.
JORGE LUIS VILLALBA ACEVEDO Prueba de hipótesis para la media
−4 −2 0 2 4
0.
0
0.
1
0.
2
0.
3
0.
4
z (vs) t
x
D
en
si
da
d
Normal estándar
Student gl=30
Figure 1: Aproximación de la t de Student a la normal
JORGE LUIS VILLALBA ACEVEDO Prueba de hipótesis para la media
−4 −2 0 2 4
0.
0
0.
1
0.
2
0.
3
0.
4
z (vs) t
x
D
en
si
da
d
Normal estándar
Student gl=40
Figure 2: Aproximación de la t de Student a la normal
JORGE LUIS VILLALBA ACEVEDO Prueba de hipótesis para la media
c) La región crítica es la región sombreada en la siguiente figura.
d) A los valores zα y zα/2 que aparecen en las siguientes figuras
se les llamará valore crítico.
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Cola izquierda
¿HIPOTESIS NULA? ¿HIPOTESIS ALTERNATIVA?
H0 : µ ≥ µ0 H1 : µ < µ0
¿REGION CRITICA? ¿VALOR CRITICO?
Ver figura 3. −zα ó −tα
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−4 −2 0 2 4
0.
0
0.
1
0.
2
0.
3
0.
4
z
dn
or
m
Región de
 Rechazo
− zα
α
H1 : µ < µ0
1 − α
Figure 3: Región crítica para la media poblacional cola izquierda
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Cola derecha
¿HIPOTESIS NULA? ¿HIPOTESIS ALTERNATIVA?
H0 : µ ≤ µ0 H1 : µ > µ0
¿REGION CRITICA? ¿VALOR CRITICO?
Ver figura 4. zα ó tα
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−4 −2 0 2 4
0.
0
0.
1
0.
2
0.
3
0.
4
z
dn
or
m
Región de
 Rechazo
zα
α
H1 : µ > µ0
1 − α
Figure 4: Región crítica para la media poblacional cola derecha
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Dos colas
¿HIPOTESIS NULA? ¿HIPOTESIS ALTERNATIVA?
H0 : µ = µ0 H1 : µ ̸= µ0
¿REGION CRITICA? ¿VALOR CRITICO?
Ver figura 5. −zα/2 y zα/2 ó −tα/2 y tα/2
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−4 −2 0 2 4
0.
0
0.
1
0.
2
0.
3
0.
4
z
dn
or
m
Región de
 Rechazo
− zα 2
α 2
H1 : µ ≠ µ0
1 − α
Región de
 Rechazo
zα 2
α 2
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3.3.1 El caso de muestras grandes o varianza poblacional
conocida
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Teorema 3.3.1.0
Sea x̄ la media de una variable aleatoria de tamaño n, tomada de
una población con media µ y varianza σ2 > 0. Supongamos que se
cumple alguna de las siguientes condiciones:
i. La población es normal y σ2 es conocida (no importa el
tamaño de n);
ii. La población es normal y σ2 es desconocida y n > 30;
iii. La forma de la población es desconocida (o no normal), σ2 es
conocida o desconocida y n > 30.
Entonces, una prueba de hipotesis con nivel de significación α para
la media µ, siendo zc = x̄−µ0σ/√n el estadístico de prueba
correspondiente. Además zα y zα/2 son los valores de una variable
aleatoria que deja un área a la derecha de α y α/2,
respectivamante, de la distribución normal.
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Si la población es finita de tamaño N y el muestreo se hace sin
reeplazo, se reeplaza σ√n por
σ√
n
√
N−n
N−1 . Además, en los casos
en que la varianza sea desconocida y n > 30, remplazamos la
desviación poblacional σ por la desviación muestral s.
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Ejercicio 3.3.1.1
Llinás [1] Como parte de un proceso de ensamblaje, se usa un
taladro para hacer agujeros en una lámina de metal. Cuando el
taladro funciona adecuadamente, los diámetros de estos agujeros
tienen una distribución normal con media de 2 centímetros y
desviación típica de 0,06 centímetros. Periódicamente, se miden
los diámetros de una muestra aleatoria de agujeros para controlar
que el taladro funciona adecuadamente. Asumamos que la
desviación típica no varía. Una muestra aleatoria de nueve medidas
da un diámetro medio de 1,95 centímetros. Probar la hipótesis de
que la media poblacional es 2 centímetros frente a la alternativa de
que no es así. Use un nivel de significanción de 0,05.
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Ejercicio 3.3.1.1
Llinás [1] Como parte de un proceso de ensamblaje, se usa un
taladro para hacer agujeros en una lámina de metal. Cuando el
taladro funciona adecuadamente, los diámetros de estos agujeros
tienen una distribución normal con media de 2 centímetros y
desviación típica de 0,06 centímetros. Periódicamente, se
miden los diámetros de una muestra aleatoria de agujeros para
controlar que el taladro funciona adecuadamente. Asumamos que
la desviación típica no varía. Una muestra aleatoria de nueve
medidas da un diámetro medio de 1,95 centímetros. Probar la
hipótesis de que la media poblacional es 2 centímetros frente a
la alternativa de que no es así. Use un nivel de significanción de
0,05.
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Sol.
−4 −2 0 2 4
0.
0
0.
1
0.
2
0.
3
0.
4
z
dn
or
m
Región de
 Rechazo
− zα 2
α 2
H1 : µ ≠ µ0
1 − α
Región de
 Rechazo
zα 2
α 2
Figure 5: Región crítica para la media poblacional dos colasJORGE LUIS VILLALBA ACEVEDO Prueba de hipótesis para la media
Sol.
1 Datos:
Sea µ el diametro promedio de la población (en centrimetros).
Entonces, queremos contrastar las hipótesis
H0 : µ = 2 versus H1 : µ ̸= 2.
2. Verificación de supuestos:
Tenemos que la población es normal, σ = 0.06 (conocida), n = 9 y
x̄ = 1.95.
3 Fórmula y Cálculos:
El valor del estadístico de prueba está dado por
zc =
x̄ − µ0
σ/
√
n =
1.95 − 2
0.06/
√
9
= − 2.5
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Sol.
1 Datos:
Sea µ el diametro promedio de la población (en centrimetros).
Entonces, queremos contrastar las hipótesis
H0 : µ = 2 versus H1 : µ ̸= 2.
2. Verificación de supuestos:
Tenemos que la población es normal, σ = 0.06 (conocida), n = 9 y
x̄ = 1.95.
3 Fórmula y Cálculos:
El valor del estadístico de prueba está dado por
zc =
x̄ − µ0
σ/
√
n =
1.95 − 2
0.06/
√
9
= − 2.5
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Sol.
1 Datos:
Sea µ el diametro promedio de la población (en centrimetros).
Entonces, queremos contrastar las hipótesis
H0 : µ = 2 versus H1 : µ ̸= 2.
2. Verificación de supuestos:
Tenemos que la población es normal, σ = 0.06 (conocida), n = 9 y
x̄ = 1.95.
3 Fórmula y Cálculos:
El valor del estadístico de prueba está dado por
zc =
x̄ − µ0
σ/
√
n =
1.95 − 2
0.06/
√
9
= − 2.5
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Sol.
1 Datos:
Sea µ el diametro promedio de la población (en centrimetros).
Entonces, queremos contrastar las hipótesis
H0 : µ = 2 versus H1 : µ ̸= 2.
2. Verificación de supuestos:
Tenemos que la población es normal, σ = 0.06 (conocida), n = 9 y
x̄ = 1.95.
3 Fórmula y Cálculos:
El valor del estadístico de prueba está dado por
zc =
x̄ − µ0
σ/
√
n =
1.95 − 2
0.06/
√
9
= − 2.5
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Sol.
1 Datos:
Sea µ el diametro promedio de la población (en centrimetros).
Entonces, queremos contrastar las hipótesis
H0 : µ = 2 versus H1 : µ ̸= 2.
2. Verificación de supuestos:
Tenemos que la población es normal, σ = 0.06 (conocida), n = 9 y
x̄ = 1.95.
3 Fórmula y Cálculos:
El valor del estadístico de prueba está dado por
zc =
x̄ − µ0
σ/
√
n =
1.95 − 2
0.06/
√
9
= − 2.5
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Sol.
1 Datos:
Seaµ el diametro promedio de la población (en centrimetros).
Entonces, queremos contrastar las hipótesis
H0 : µ = 2 versus H1 : µ ̸= 2.
2. Verificación de supuestos:
Tenemos que la población es normal, σ = 0.06 (conocida), n = 9 y
x̄ = 1.95.
3 Fórmula y Cálculos:
El valor del estadístico de prueba está dado por
zc =
x̄ − µ0
σ/
√
n =
1.95 − 2
0.06/
√
9
= − 2.5
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Sol.
1 Datos:
Sea µ el diametro promedio de la población (en centrimetros).
Entonces, queremos contrastar las hipótesis
H0 : µ = 2 versus H1 : µ ̸= 2.
2. Verificación de supuestos:
Tenemos que la población es normal, σ = 0.06 (conocida), n = 9 y
x̄ = 1.95.
3 Fórmula y Cálculos:
El valor del estadístico de prueba está dado por
zc =
x̄ − µ0
σ/
√
n
= 1.95 − 2
0.06/
√
9
= − 2.5
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Sol.
1 Datos:
Sea µ el diametro promedio de la población (en centrimetros).
Entonces, queremos contrastar las hipótesis
H0 : µ = 2 versus H1 : µ ̸= 2.
2. Verificación de supuestos:
Tenemos que la población es normal, σ = 0.06 (conocida), n = 9 y
x̄ = 1.95.
3 Fórmula y Cálculos:
El valor del estadístico de prueba está dado por
zc =
x̄ − µ0
σ/
√
n =
1.95 − 2
0.06/
√
9
= − 2.5
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Sol.
1 Datos:
Sea µ el diametro promedio de la población (en centrimetros).
Entonces, queremos contrastar las hipótesis
H0 : µ = 2 versus H1 : µ ̸= 2.
2. Verificación de supuestos:
Tenemos que la población es normal, σ = 0.06 (conocida), n = 9 y
x̄ = 1.95.
3 Fórmula y Cálculos:
El valor del estadístico de prueba está dado por
zc =
x̄ − µ0
σ/
√
n =
1.95 − 2
0.06/
√
9
= − 2.5
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Sol.
1 Datos:
Sea µ el diametro promedio de la población (en centrimetros).
Entonces, queremos contrastar las hipótesis
H0 : µ = 2 versus H1 : µ ̸= 2.
2. Verificación de supuestos:
Tenemos que la población es normal, σ = 0.06 (conocida), n = 9 y
x̄ = 1.95.
3 Fórmula y Cálculos:
El valor del estadístico de prueba está dado por
zc =
x̄ − µ0
σ/
√
n =
1.95 − 2
0.06/
√
9
=
− 2.5
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Sol.
1 Datos:
Sea µ el diametro promedio de la población (en centrimetros).
Entonces, queremos contrastar las hipótesis
H0 : µ = 2 versus H1 : µ ̸= 2.
2. Verificación de supuestos:
Tenemos que la población es normal, σ = 0.06 (conocida), n = 9 y
x̄ = 1.95.
3 Fórmula y Cálculos:
El valor del estadístico de prueba está dado por
zc =
x̄ − µ0
σ/
√
n =
1.95 − 2
0.06/
√
9
= − 2.5
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4 Aplicación del método de decisión:
a) Región crítica: Para una prueba al nivel del 5%, tenemos que
α = 0.05 y zα/2 = z0.025 = −1.96. Entonces, como zc = − 2.5 es
menor que zα/2 = − 1.96, se rechaza la hipótesis nula bajo un
nivel de significación del 5%.
b) P-valor: El valor P que corresponde a zc = − 2.5, tenemos
p − value = 2 ∗ P(Z < −2.5) = 0.0124.
Como resultado, se rechaza la hipótesis nula bajo un nivel de
significación del 5%.
5 Interpretación:
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4 Aplicación del método de decisión:
a) Región crítica: Para una prueba al nivel del 5%, tenemos que
α = 0.05 y zα/2 = z0.025 = −1.96. Entonces, como
zc = − 2.5 es
menor que zα/2 = − 1.96, se rechaza la hipótesis nula bajo un
nivel de significación del 5%.
b) P-valor: El valor P que corresponde a zc = − 2.5, tenemos
p − value = 2 ∗ P(Z < −2.5) = 0.0124.
Como resultado, se rechaza la hipótesis nula bajo un nivel de
significación del 5%.
5 Interpretación:
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4 Aplicación del método de decisión:
a) Región crítica: Para una prueba al nivel del 5%, tenemos que
α = 0.05 y zα/2 = z0.025 = −1.96. Entonces, como zc
= − 2.5 es
menor que zα/2 = − 1.96, se rechaza la hipótesis nula bajo un
nivel de significación del 5%.
b) P-valor: El valor P que corresponde a zc = − 2.5, tenemos
p − value = 2 ∗ P(Z < −2.5) = 0.0124.
Como resultado, se rechaza la hipótesis nula bajo un nivel de
significación del 5%.
5 Interpretación:
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4 Aplicación del método de decisión:
a) Región crítica: Para una prueba al nivel del 5%, tenemos que
α = 0.05 y zα/2 = z0.025 = −1.96. Entonces, como zc =
− 2.5 es
menor que zα/2 = − 1.96, se rechaza la hipótesis nula bajo un
nivel de significación del 5%.
b) P-valor: El valor P que corresponde a zc = − 2.5, tenemos
p − value = 2 ∗ P(Z < −2.5) = 0.0124.
Como resultado, se rechaza la hipótesis nula bajo un nivel de
significación del 5%.
5 Interpretación:
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4 Aplicación del método de decisión:
a) Región crítica: Para una prueba al nivel del 5%, tenemos que
α = 0.05 y zα/2 = z0.025 = −1.96. Entonces, como zc = − 2.5 es
menor que
zα/2 = − 1.96, se rechaza la hipótesis nula bajo un
nivel de significación del 5%.
b) P-valor: El valor P que corresponde a zc = − 2.5, tenemos
p − value = 2 ∗ P(Z < −2.5) = 0.0124.
Como resultado, se rechaza la hipótesis nula bajo un nivel de
significación del 5%.
5 Interpretación:
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4 Aplicación del método de decisión:
a) Región crítica: Para una prueba al nivel del 5%, tenemos que
α = 0.05 y zα/2 = z0.025 = −1.96. Entonces, como zc = − 2.5 es
menor que zα/2
= − 1.96, se rechaza la hipótesis nula bajo un
nivel de significación del 5%.
b) P-valor: El valor P que corresponde a zc = − 2.5, tenemos
p − value = 2 ∗ P(Z < −2.5) = 0.0124.
Como resultado, se rechaza la hipótesis nula bajo un nivel de
significación del 5%.
5 Interpretación:
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4 Aplicación del método de decisión:
a) Región crítica: Para una prueba al nivel del 5%, tenemos que
α = 0.05 y zα/2 = z0.025 = −1.96. Entonces, como zc = − 2.5 es
menor que zα/2 =
− 1.96, se rechaza la hipótesis nula bajo un
nivel de significación del 5%.
b) P-valor: El valor P que corresponde a zc = − 2.5, tenemos
p − value = 2 ∗ P(Z < −2.5) = 0.0124.
Como resultado, se rechaza la hipótesis nula bajo un nivel de
significación del 5%.
5 Interpretación:
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4 Aplicación del método de decisión:
a) Región crítica: Para una prueba al nivel del 5%, tenemos que
α = 0.05 y zα/2 = z0.025 = −1.96. Entonces, como zc = − 2.5 es
menor que zα/2 = − 1.96,
se rechaza la hipótesis nula bajo un
nivel de significación del 5%.
b) P-valor: El valor P que corresponde a zc = − 2.5, tenemos
p − value = 2 ∗ P(Z < −2.5) = 0.0124.
Como resultado, se rechaza la hipótesis nula bajo un nivel de
significación del 5%.
5 Interpretación:
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4 Aplicación del método de decisión:
a) Región crítica: Para una prueba al nivel del 5%, tenemos que
α = 0.05 y zα/2 = z0.025 = −1.96. Entonces, como zc = − 2.5 es
menor que zα/2 = − 1.96, se rechaza la hipótesis nula bajo un
nivel de significación del 5%.
b) P-valor: El valor P que corresponde a zc = − 2.5, tenemos
p − value = 2 ∗ P(Z < −2.5) = 0.0124.
Como resultado, se rechaza la hipótesis nula bajo un nivel de
significación del 5%.
5 Interpretación:
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4 Aplicación del método de decisión:
a) Región crítica: Para una prueba al nivel del 5%, tenemos que
α = 0.05 y zα/2 = z0.025 = −1.96. Entonces, como zc = − 2.5 es
menor que zα/2 = − 1.96, se rechaza la hipótesis nula bajo un
nivel de significación del 5%.
b) P-valor: El valor P que corresponde a zc
= − 2.5, tenemos
p − value = 2 ∗ P(Z < −2.5) = 0.0124.
Como resultado, se rechaza la hipótesis nula bajo un nivel de
significación del 5%.
5 Interpretación:
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4 Aplicación del método de decisión:
a) Regióncrítica: Para una prueba al nivel del 5%, tenemos que
α = 0.05 y zα/2 = z0.025 = −1.96. Entonces, como zc = − 2.5 es
menor que zα/2 = − 1.96, se rechaza la hipótesis nula bajo un
nivel de significación del 5%.
b) P-valor: El valor P que corresponde a zc =
− 2.5, tenemos
p − value = 2 ∗ P(Z < −2.5) = 0.0124.
Como resultado, se rechaza la hipótesis nula bajo un nivel de
significación del 5%.
5 Interpretación:
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4 Aplicación del método de decisión:
a) Región crítica: Para una prueba al nivel del 5%, tenemos que
α = 0.05 y zα/2 = z0.025 = −1.96. Entonces, como zc = − 2.5 es
menor que zα/2 = − 1.96, se rechaza la hipótesis nula bajo un
nivel de significación del 5%.
b) P-valor: El valor P que corresponde a zc = − 2.5, tenemos
p − value
= 2 ∗ P(Z < −2.5) = 0.0124.
Como resultado, se rechaza la hipótesis nula bajo un nivel de
significación del 5%.
5 Interpretación:
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4 Aplicación del método de decisión:
a) Región crítica: Para una prueba al nivel del 5%, tenemos que
α = 0.05 y zα/2 = z0.025 = −1.96. Entonces, como zc = − 2.5 es
menor que zα/2 = − 1.96, se rechaza la hipótesis nula bajo un
nivel de significación del 5%.
b) P-valor: El valor P que corresponde a zc = − 2.5, tenemos
p − value =
2 ∗ P(Z < −2.5) = 0.0124.
Como resultado, se rechaza la hipótesis nula bajo un nivel de
significación del 5%.
5 Interpretación:
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4 Aplicación del método de decisión:
a) Región crítica: Para una prueba al nivel del 5%, tenemos que
α = 0.05 y zα/2 = z0.025 = −1.96. Entonces, como zc = − 2.5 es
menor que zα/2 = − 1.96, se rechaza la hipótesis nula bajo un
nivel de significación del 5%.
b) P-valor: El valor P que corresponde a zc = − 2.5, tenemos
p − value = 2 ∗ P(Z < −2.5)
= 0.0124.
Como resultado, se rechaza la hipótesis nula bajo un nivel de
significación del 5%.
5 Interpretación:
JORGE LUIS VILLALBA ACEVEDO Prueba de hipótesis para la media
4 Aplicación del método de decisión:
a) Región crítica: Para una prueba al nivel del 5%, tenemos que
α = 0.05 y zα/2 = z0.025 = −1.96. Entonces, como zc = − 2.5 es
menor que zα/2 = − 1.96, se rechaza la hipótesis nula bajo un
nivel de significación del 5%.
b) P-valor: El valor P que corresponde a zc = − 2.5, tenemos
p − value = 2 ∗ P(Z < −2.5) =
0.0124.
Como resultado, se rechaza la hipótesis nula bajo un nivel de
significación del 5%.
5 Interpretación:
JORGE LUIS VILLALBA ACEVEDO Prueba de hipótesis para la media
4 Aplicación del método de decisión:
a) Región crítica: Para una prueba al nivel del 5%, tenemos que
α = 0.05 y zα/2 = z0.025 = −1.96. Entonces, como zc = − 2.5 es
menor que zα/2 = − 1.96, se rechaza la hipótesis nula bajo un
nivel de significación del 5%.
b) P-valor: El valor P que corresponde a zc = − 2.5, tenemos
p − value = 2 ∗ P(Z < −2.5) = 0.0124.
Como resultado, se rechaza la hipótesis nula bajo un nivel de
significación del 5%.
5 Interpretación:
JORGE LUIS VILLALBA ACEVEDO Prueba de hipótesis para la media
4 Aplicación del método de decisión:
a) Región crítica: Para una prueba al nivel del 5%, tenemos que
α = 0.05 y zα/2 = z0.025 = −1.96. Entonces, como zc = − 2.5 es
menor que zα/2 = − 1.96, se rechaza la hipótesis nula bajo un
nivel de significación del 5%.
b) P-valor: El valor P que corresponde a zc = − 2.5, tenemos
p − value = 2 ∗ P(Z < −2.5) = 0.0124.
Como resultado, se rechaza la hipótesis nula bajo un nivel de
significación del 5%.
5 Interpretación:
JORGE LUIS VILLALBA ACEVEDO Prueba de hipótesis para la media
4 Aplicación del método de decisión:
a) Región crítica: Para una prueba al nivel del 5%, tenemos que
α = 0.05 y zα/2 = z0.025 = −1.96. Entonces, como zc = − 2.5 es
menor que zα/2 = − 1.96, se rechaza la hipótesis nula bajo un
nivel de significación del 5%.
b) P-valor: El valor P que corresponde a zc = − 2.5, tenemos
p − value = 2 ∗ P(Z < −2.5) = 0.0124.
Como resultado, se rechaza la hipótesis nula bajo un nivel de
significación del 5%.
5 Interpretación:
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Ejercicio 3.3.1.2
Walpole [2] Una muestra aleatoria de 100 muertes registradas en
Estados Unidos el año pasado mostró una vida promedio de 71.8
años. Suponiendo una desviación estándar poblacional de 8.9 años,
¿esto parece indicar que la vida media actual es mayor que 70
años? Utilice un nivel de significación de 0.05.
JORGE LUIS VILLALBA ACEVEDO Prueba de hipótesis para la media
−4 −2 0 2 4
0.
0
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1
0.
2
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or
m
Región de
 Rechazo
zα
α
H1 : u > k
1 − α
Figure 6: Región crítica para la media cola derecha
JORGE LUIS VILLALBA ACEVEDO Prueba de hipótesis para la media
Sol.
1 Datos:
Sea µ la vida promedio poblacional (en años). Entonces, queremos
contrastar las hipótesis
H0 : µ ≤ 70 versus H1 : µ > 70.
2 Verificación de supuestos:
Tenemos que la población es normal, σ = 8.9 (conocida), n = 100
y x̄ = 71.8.
Fórmula y Cálculos: El valor del estadístico de prueba está dado
por zc = x̄−µ0σ/√n =
71.8−70
8.9/
√
100 = 2.02
JORGE LUIS VILLALBA ACEVEDO Prueba de hipótesis para la media
3 Aplicación del método de decisión:
a) Región crítica: Para una prueba al nivel del 5%, tenemos que
α = 0.05 y zα = z0.05 = 1.96. Entonces, como zc = 2.02 es mayor
que zα = 1.96, se rechaza la hipótesis nula bajo un nivel de
significación del 5%.
4 b) P-valor: El valor P que corresponde a zc = 2.02, tenemos
p − value = P(Z > 2.02) = 0.0217.
Como resultado, se rechaza la hipótesis nula bajo un nivel de
significación del 5%.
5 Interpretación:
JORGE LUIS VILLALBA ACEVEDO Prueba de hipótesis para la media
3.3.2 El caso de muestras pequeñas y varianza poblacional
desconocida
JORGE LUIS VILLALBA ACEVEDO Prueba de hipótesis para la media
Teorema 3.3.2.0
Sean x̄ y s2 la media y la varianza de una muestra aleatoria de
tamaño n ≤ 30, tomadas de una población normal con media µ y
varianza σ2 desconocida. Entonces, una prueba de hipótesis con
un nivel de significación α para la media µ, siendo
tc = x̄−µ0s/√n el estadístico de prueba correspondiente y t(α;n−1) y
t(α/2;n−1) el valor de la variable aleatoria, siendo t(α;n−1) y
t(α/2;n−1) el valor a la derecha del cual se tiene un área de α y α/2
respectivamenta de la distribución t de Student con (n − 1) grados
de libertad.
JORGE LUIS VILLALBA ACEVEDO Prueba de hipótesis para la media
Si la población es finita de tamaño N, se reeplaza s√n por
s√
n
√
N−n
N−1 . Es importante enfatizar al respecto que cuando la
forma de la distribución de la población es desconocidad o no
normal, entonces, no hay ningun método general para
establecer una estimación de intervalo de la media poblacional
µ.
JORGE LUIS VILLALBA ACEVEDO Prueba de hipótesis para la media
Test of Equal or Given Proportions
Description:
Performs one and two sample t-tests on vectors of data.
Usage
t.test(x, y = NULL,
alternative = c("two.sided", "less", "greater"),
mu = 0, paired = FALSE, var.equal = FALSE,
conf.level = 0.95, ...)
JORGE LUIS VILLALBA ACEVEDO Prueba de hipótesis para la media
Test of Equal or Given Proportions
Description:
Performs one and two sample t-tests on vectors of data.
Usage
t.test(x, y = NULL,
alternative = c("two.sided", "less", "greater"),
mu = 0, paired = FALSE, var.equal = FALSE,
conf.level = 0.95, ...)
JORGE LUIS VILLALBA ACEVEDO Prueba de hipótesis para la media
Ejercicio 3.3.2.1.
Walpole [2] Electicaribe publica cifras del número anual de
kilowatts-hora que gastan varios aparatos electrodomésticos. Se
afirma que una aspiradora gasta un promedio de 46 kilowatts-hora
al año. Si una muestra aleatoria de 12 hogares que se incluye en
un estudio planeado indica que las aspiradoras gastan un promedio
de 42 kilowatts-hora al año con una desviación estándar de 11.9
kilowatts-hora, ¿en un nivel de significación de 0.05 esto sugiere
que las aspiradoras gastan, en promedio, menos de 46
kilowatts-hora anualmente? Supongaque la población de
kilowattshora es normal.
JORGE LUIS VILLALBA ACEVEDO Prueba de hipótesis para la media
Ejercicio 3.3.2.1.
Walpole [2] Electicaribe publica cifras del número anual de
kilowatts-hora que gastan varios aparatos electrodomésticos. Se
afirma que una aspiradora gasta un promedio de 46
kilowatts-hora al año. Si una muestra aleatoria de 12 hogares
que se incluye en un estudio planeado indica que las aspiradoras
gastan un promedio de 42 kilowatts-hora al año con una
desviación estándar de 11.9 kilowatts-hora, ¿en un nivel de
significación de 0.05 esto sugiere que las aspiradoras gastan, en
promedio, menos de 46 kilowatts-hora anualmente? Suponga
que la población de kilowattshora es normal.
JORGE LUIS VILLALBA ACEVEDO Prueba de hipótesis para la media
Sol
−4 −2 0 2 4
0.
0
0.
1
0.
2
0.
3
0.
4
t
dt
Región de
 Rechazo
− tα
α
H1 : u < k
1 − α
Figure 7: Región crítica para la media poblacional cola izquierdaJORGE LUIS VILLALBA ACEVEDO Prueba de hipótesis para la media
Sol.
Sea µ gasto en promedio poblacional (en kilowatts-hora.).
Entonces, queremos contrastar las hipótesis
H0 : µ ≥ 46 versus H1 : µ < 46.
Tenemos que la población es normal y del contexto se extrae las
siguietes observaciones s = 11.9 , n = 12 y x̄ = 42.
Para la prueba al nivel del 5% tenemos que α = 0.05 y
t(α;n−1) = t(0.05;11) = −1.796, ahora el valor del estadístico de
prueba está dado por tc = x̄−µ0s/√n =
42−46
11.9/
√
12 = −1.164, entonces no
se rechaza la hipótesis nula bajo un nivel de significación del 5%.
El valor P que corresponde a tc = −1.164, tenemos
p − value = P(T < −1.164) = 0.1345.
Como resultado, no se rechaza la hipótesis nula bajo un nivel de
significación del 5%.
Interpretación:JORGE LUIS VILLALBA ACEVEDO Prueba de hipótesis para la media
3.3.3 Prueba para la diferencia de dos medias
El caso de muestras pareados (muestras dependientes)
JORGE LUIS VILLALBA ACEVEDO Prueba de hipótesis para la media
Teorema 3.3.3.0
Sean x = (x1, x2, ..., xn), y = (y1, y2, ..., yn) y di = xi − yi donde
d̄ = d1 + · · · + dnn , s
2
d =
n∑
i=1
(di − d̄)2
n − 1 =
n
n∑
i=1
d2i − (
n∑
i=1
di)2
n(n − 1)
Si d̄ y sd son la media y la desviación estándar, respectivamente,
de las diferencias distribuidas normalmente de n pares aleatorios de
mediciones, entonces la distribución muestral que utilizaremos será
la t de Student con n − 1 grados de libertad. el estadístico de
prueba tendrá valor:
tc =
d̄ − µd
sd/
√
n
siendo t(α;n−1) o t(α/2;n−1) el valor de que deja un área de α y α/2
respectivamente, la derecha de la distribución t de Student con
v = n − 1 grados de libertad.
JORGE LUIS VILLALBA ACEVEDO Prueba de hipótesis para la media
Ejercico 3.3.3.1
LLinás [1] Un equipo médico midió el nivel de cierto producto
químico en la sangre de 15 sujetos antes y después afrontar una
situación que producía ansiedad. La siguiente tabla muestra los
resultados. Con base en esos datos y al nivel de 0.05, verifíquese si
las situaciones que producen ansiedad aumentan el nivel de este
producto químico en la sangre. Suponga que las poblaciones en
cuestión están normalmente distribuidas. Halle también el P-valor.
Par 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Antes yi 8 15 20 18 12 10 22 18 7 14
Después xi 28 10 15 14 12 21 25 22 11 16
JORGE LUIS VILLALBA ACEVEDO Prueba de hipótesis para la media
Par 11 12 13 14 15
Antes yi 7 20 9 17 14
Después xi 10 27 10 22 24
JORGE LUIS VILLALBA ACEVEDO Prueba de hipótesis para la media
Sol.
Denotamos por µantes y µdespués las medias poblacionales de las
medidas del nivel de químico en la sangre, respectivamente, antes
y despúes de haber sido sometidos los sujetos a una situación que
produce anciedad. Sea µ := µdespúes − µantes . Entonces, queremos
contrastar la hipótesis nula
H0 : µ ≤ 0 versus H1 : µ > 0.
Sea di = xi − yi las diferencias muestrales entre los valores
obtenidos después y antes del experimento, que se encuentran en
las siguiente tabla:
JORGE LUIS VILLALBA ACEVEDO Prueba de hipótesis para la media
Sol.
Par 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
di 20 -5 -5 -4 0 11 3 4 4 2 3 7 1 5 10
Además, sean:
d̄ = d1 + · · · + dnn = 3.73, y sd =
√√√√√√n
n∑
i=1
d2i − (
n∑
i=1
di)2
n(n − 1) = 6.58
la media y la varianza de las diferencias.
JORGE LUIS VILLALBA ACEVEDO Prueba de hipótesis para la media
Sol.
Par 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
di 20 -5 -5 -4 0 11 3 4 4 2 3 7 1 5 10
Además, sean:
d̄ = d1 + · · · + dnn = 3.73, y sd =
√√√√√√n
n∑
i=1
d2i − (
n∑
i=1
di)2
n(n − 1) = 6.58
la media y la varianza de las diferencias.
JORGE LUIS VILLALBA ACEVEDO Prueba de hipótesis para la media
Sol.
Par 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
di 20 -5 -5 -4 0 11 3 4 4 2 3 7 1 5 10
Además, sean:
d̄ = d1 + · · · + dnn = 3.73, y sd =
√√√√√√n
n∑
i=1
d2i − (
n∑
i=1
di)2
n(n − 1) = 6.58
la media y la varianza de las diferencias.
JORGE LUIS VILLALBA ACEVEDO Prueba de hipótesis para la media
Sol.
−4 −2 0 2 4
0.
00
0.
05
0.
10
0.
15
0.
20
0.
25
0.
30
0.
35
t
dt
Región de
 Rechazo
− tα
α
H1 : u < k
1 − α
Figure 8: Región crítica para la media poblacional cola izquierdaJORGE LUIS VILLALBA ACEVEDO Prueba de hipótesis para la media
Sol.
Por consiguiente, como la población de las diferencias está
normalmente distribuida, la desviación poblacional de las
diferencias es desconocidas y n = 15 (< 30), entonces, la
distribución muestral que utilizaremos es la t Student con
v = n − 1 = 14 grados de libertad. el estadístico de prueba tendrá
valor
tc =
x̄ − µ0
s/
√
n =
3.73 − 0
6.58/
√
15
= 2.195
.
Para una prueba al nivel del 5%, tenemos que α = 0.05 y
t(α;n−1) = t(0.05;14) = 1.761. Entonces, como tc = 2.195 es
mayor que tα = 1.761, se rechaza la hipótesis nula bajo un
nivel de significación del 5%.
JORGE LUIS VILLALBA ACEVEDO Prueba de hipótesis para la media
El valor P que corresponde a zc = 2.02, tenemos
p − value = P(T > 2.02) = 0.0228.
Como resultado, se rechaza la hipótesis nula bajo un nivel de
significación del 5%.
Interpretación:
Se concluye que las situaciones causantes de anciedad aumenta el
nivel de ese producto en la sangre.
JORGE LUIS VILLALBA ACEVEDO Prueba de hipótesis para la media
Ejercicio 3.3.3.2
Walpoele [2] De acuerdo con informes publicados, el ejercicio
bajo condiciones de fatiga altera los mecanismos que determinan el
desempeño. Se realizó un experimento donde se usaron 15
estudiantes universitarios hombres, entrenados para realizar un
movimiento horizontal continuo del brazo, de derecha a izquierda,
desde un microinterruptor hasta una barrera, golpeando sobre la
barrera en coincidencia con la llegada de una manecilla del reloj a
la posición de las 6 en punto. Se registra el valor absoluto de la
diferencia entre el tiempo, en milisegundos, que toma golpear
sobre la barrera y el tiempo para que la manecilla alcance la
posición de las 6 en punto (500 mseg). Cada participante ejecuta
la tarea cinco veces en condiciones sin fatiga y con fatiga, y se
registraron las sumas de las diferencias absolutas para las cinco
ejecuciones como sigue:
JORGE LUIS VILLALBA ACEVEDO Prueba de hipótesis para la media
Sujeto Sin_fatiga Con_fatiga
1 158 91
2 92 59
3 65 215
4 98 226
5 33 223
6 89 91
7 148 92
8 58 177
9 142 134
10 117 116
11 74 153
12 66 219
13 109 143
14 57 164
15 85 100
JORGE LUIS VILLALBA ACEVEDO Prueba de hipótesis para la media
Un aumento en la diferencia media absoluta de tiempo cuando la
tarea se ejecuta en condiciones de fatiga apoyaría la afirmación de
que el ejercicio, en condiciones de fatiga, altera el mecanismo que
determina el desempeño. Suponga que las poblaciones se
distribuyen normalmente y pruebe tal afirmación.
JORGE LUIS VILLALBA ACEVEDO Prueba de hipótesis para la media
3.3.4 Contrastes para la diferencia de medias poblacionales
(muestras independientes)
a) Tener en cuenta los supuestos de la tabla relacionada con
distribución muestral de diferencia de medias.
b) Utilizaremos la z o la t de Student (los grados de libertad
dependen de la situación que tengamos en el problema).c) La región crítica es la región sombreada que aparece en las
siguientes figuras.
d) A los valores zα y zα/2 que aparecen en las siguientes figuras
se les llamará valore crítico.
JORGE LUIS VILLALBA ACEVEDO Prueba de hipótesis para la media
Cola izquierda
¿HIPOTESIS NULA? ¿HIPOTESIS ALTERNATIVA?
H0 : µ1 − µ2 ≥ k H1 : µ1 − µ2 < k
¿REGION CRITICA? ¿VALOR CRITICO?
Ver figura. −zα ó −tα
JORGE LUIS VILLALBA ACEVEDO Prueba de hipótesis para la media
−4 −2 0 2 4
0.0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
dn
or
m
1 − α
α
− zα
H1 : u1 − u2 < k
JORGE LUIS VILLALBA ACEVEDO Prueba de hipótesis para la media
Cola derecha
¿HIPOTESIS NULA? ¿HIPOTESIS ALTERNATIVA?
H0 : µ1 − µ2 ≤ k H1 : µ1 − µ2 > k
¿REGION CRITICA? ¿VALOR CRITICO?
Ver figura. zα ó tα
JORGE LUIS VILLALBA ACEVEDO Prueba de hipótesis para la media
−4 −2 0 2 4
0.0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
dn
or
m
zα
1 − α
α
H1 : u1 − u2 > k
JORGE LUIS VILLALBA ACEVEDO Prueba de hipótesis para la media
Dos colas
¿HIPOTESIS NULA? ¿HIPOTESIS ALTERNATIVA?
H0 : µ1 − µ2 = k H1 : µ1 − µ2 ̸= k
¿REGION CRITICA? ¿VALOR CRITICO?
Ver figura. −zα/2 y zα/2 ó −tα/2 y tα/2
JORGE LUIS VILLALBA ACEVEDO Prueba de hipótesis para la media
−4 −2 0 2 4
0.0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
dn
or
m
α 2α 2
zα 2− zα 2
H1 : u1 − u2 ≠ k
JORGE LUIS VILLALBA ACEVEDO Prueba de hipótesis para la media
Teorema 3.3.4.0
Sean x̄1 y x̄2 las medias de muestras aleatorias independientes de
tamaños n1 y n2 de poblaciones con medias µ1, µ2 y varianzas σ21,
σ22, respectivamente. Supongamos, entonces, que se cumplen
algunas de las siguiene condiciones:
a) Ambas poblaciones son normales y ambas varianzas
poblacionales σ21 y σ22 son conocidas;
b) Ambas poblaciones son desconocidas o no normales, ambas
varianzas poblacionales σ21 y σ22 son conocidas o desconocidas
y n1 ≥ 30, n2 ≥ 30 o n1 + n2 > 30.
Entonces, una prueba de hipótesis con nivel de significanción α
para la diferencia µ1 − µ2, siendo
zc =
(x̄1 − x̄2) − (µ1 − µ2)√
σ21
n1 +
σ22
n2
= (x̄1 − x̄2) − d0√
σ21
n1 +
σ22
n2
JORGE LUIS VILLALBA ACEVEDO Prueba de hipótesis para la media
El estadístico de prueba correspondiente y zα o zα/2 corresponden
al valor de una variable aleatoria, a la derecha del cual se tiene
área de α y α/2 respectivamente en la distribución normal.
En el caso en que las varianzas poblacionales son desconocidas,
utilizamos las desviacones muestrales respectivas como estimación
de las correspondientes desviaciones poblacionales.
JORGE LUIS VILLALBA ACEVEDO Prueba de hipótesis para la media
Ejercicio 3.3.4.1
Llinas [1] En un establecimiento escolar suburbano, se seleccionó
al azar una muestra aleatoria de 25 alumnos de quinto grado
(grupo 1) de una poblacion de estudiantes perteneciente a familias
en que ambos padres trabajan. Se seleccionó también una muestra
aleatoria al azar de 15 estudiantes (grupo 2) del mismo grado y
establecimiento escolar entre aquellos estudiantes que pertenecen a
familias en que solamente el padre trabaja. El análisis de los
puntajes de rendimiento escolar (en escala de 1 a 100) de los dos
grupos dio los siguientes resultados: un puntaje promedio de 78
para el grupo 1 y de 85 para el grupo 2. La experiencia muestra
que las poblaciones de puntajes para ambos grupos están
distribuidas en forma aproximadamente normal, con varianzas de
σ21 = 81 y σ22 = 25. Utilizando un nivel de significacición del 5% y
con base en estos datos, determinar si se puede concluir que la
media de la población de la que se seleccionó el grupo 1 es inferior
a la media de la población de la que se seleccionó el grupo 2. Halle
también el P-valor.
JORGE LUIS VILLALBA ACEVEDO Prueba de hipótesis para la media
Sol.
Sean µ1 y µ2 las respectivas medias poblacionales de puntajes
promedios. Al plantear las hipótesis del problema obtenemos:
H0 : µ1 ≥ µ2 o su equivalente H0 : µ1 − µ2 ≥ 0;
H1 : µ1 < µ2 o su equivalente H1 : µ1 − µ2 < 0.
Ahora, tenemos los siguientes datos del contexto
n1 = 25 , x̄1 = 78, σ21 = 81 n2 = 15 , x̄2 = 85, σ22 = 25
Para una prueba al nivel del 5%, tenemos que α = 0.05 y
zα = z0.05 = −1.64. Entonces, para el caso d0 = 0 el
estadístico de prueba esta dado por,
zc =
(x̄1 − x̄2) − d0√
σ21
n1 +
σ22
n2
= (78 − 85) − 0√
81
25 +
25
15
= −3.16 es menor que
zα = −1.64, se rechaza la hipótesis nula bajo un nivel de
significación del 5%.
JORGE LUIS VILLALBA ACEVEDO Prueba de hipótesis para la media
El valor P que corresponde a zc = −3.16, tenemos
p − value = P(T > −3.16) = 8 × 10−4.
Como resultado, se rechaza la hipótesis nula bajo un nivel de
significación del 5%.
Interpretación:
JORGE LUIS VILLALBA ACEVEDO Prueba de hipótesis para la media
Ejercicio 3.3.4.2.
Se llevó a cabo un estudio entre expertos matemáticos para
conocer su opinión sobre las mujeres matemáticas. Se les pidió que
evaluaran en una escala de 1 (totalmente en desacuerdo) a 5
(totalmente de acuerdo) la afirmación: “Las mujeres matemáticas
tienen la misma oferta de trabajo que los hombres”. Para una
muestra aleatoria de 186 hombres de esta profesión, la respuesta
media fue de 4,059 con una desviación típica de 0,839. Para una
muestra aleatoria independiente de 172 mujeres matemáticas, la
respuesta media fue 3,680 con una desviación típica de 0,966.
Utilícese un nivel de significación del 5% para contrastar la
hipótesis nula de que las dos medias poblacionales son iguales
frente a la alternativa de que ambas sean diferentes. Halle también
el P-valor.
JORGE LUIS VILLALBA ACEVEDO Prueba de hipótesis para la media
Teorema
Sean x̄1 y x̄2 las medias de muestras aleatorias independientes de
tamaños n1 + n2 ≤ 30 de poblaciones normales con medias µ1, µ2
y varianzas σ21, σ22 iguales y desconocidas. Entonces, una prueba
de hipótesis con nivel de significanción α para la diferencia
µ1 − µ2, siendo
tc =
(x̄1 − x̄2) − (µ1 − µ2)√
s2p
n1 +
s2p
n2
= (x̄1 − x̄2) − d0√
s2p
n1 +
s2p
n2
el estadístico de prueba correspondiente. De manera que, en la
expresión anteriror,
s2p =
(n1 − 1)s21 + (n2 − 1)s22
n1 + n2 − 2
.
Además, tα/2 es el valor de una variable aleatoria que tiene
distribución t de Student con v = n1 + n2 − 2 grados de libertad, a
la derecha del cual se tiene un área de α/2 en esta distribución.
JORGE LUIS VILLALBA ACEVEDO Prueba de hipótesis para la media
Ejercicio 1.
Se llevó a cabo un experimento para comparar el deterioro abrasivo
de dos materiales laminados diferentes. Se probaron doce piezas
del material 1, exponiendo cada una a una máquina para medir el
deterioro. De la misma manera, se probaron diez piezas del
material 2. En cada caso, se observó la profundidad del deterioro.
Las muestras del material 1 dieron un deterioro promedio
(registrado) de 85 unidades con una desviación estándar muestral
de 4, mientras que las muestras del material 2 dieron un promedio
de 81 y una desviación estándar muestral de 5. ¿Puede concluirse
en el nivel de significanción del 5% que el deterioro abrasivo del
material 1 excede al del material 2 por más de 2 unidades? Asuma
que las poblaciones son aproximadamente normales con varianzas
iguales. Halle también el P-valor.
JORGE LUIS VILLALBA ACEVEDO Prueba de hipótesis para la media
Sol.
Sean µ1 y µ2 las respectivas medias poblacionales para las piezas
de los materiales 1 y 2. Al plantear las hipótesis del problema
obtenemos:
H0 : µ1 − µ2 ≤ 2 (versus) H1 : µ1 − µ2 > 2.
Ahora, tenemos los siguientes datos del contexto
n1 = 12 , x̄1 = 85, s21 = 16
n2 = 10 , x̄2 = 81, s22 = 25
Entonces, para el caso d0 = 2 y la varianza poblacional común
se estima como:
s2p =
(n1 − 1)s21 + (n2 − 1)s22
n1 + n2 − 2
= (12 − 1)(4
2) + (10 − 1)(52)
12 + 10 − 2 =
(11)16 + (9)25
20 = 20.05.
JORGE LUIS VILLALBA ACEVEDO Prueba de hipótesis para la media
Sol.
Sean µ1 y µ2 las respectivas medias poblacionales para las piezas
de los materiales 1 y 2. Al plantear las hipótesis del problema
obtenemos:
H0 : µ1 − µ2 ≤ 2 (versus) H1 : µ1 − µ2 > 2.
Ahora, tenemos los siguientes datos del contexto
n1 = 12 , x̄1 = 85, s21 = 16
n2 = 10 , x̄2 = 81, s22 = 25
Entonces,para el caso d0 = 2 y la varianza poblacional común
se estima como:
s2p =
(n1 − 1)s21 + (n2 − 1)s22
n1 + n2 − 2
= (12 − 1)(4
2) + (10 − 1)(52)
12 + 10 − 2 =
(11)16 + (9)25
20 = 20.05.
JORGE LUIS VILLALBA ACEVEDO Prueba de hipótesis para la media
Sol.
Sean µ1 y µ2 las respectivas medias poblacionales para las piezas
de los materiales 1 y 2. Al plantear las hipótesis del problema
obtenemos:
H0 : µ1 − µ2 ≤ 2 (versus) H1 : µ1 − µ2 > 2.
Ahora, tenemos los siguientes datos del contexto
n1 = 12 , x̄1 = 85, s21 = 16
n2 = 10 , x̄2 = 81, s22 = 25
Entonces, para el caso d0 = 2 y la varianza poblacional común
se estima como:
s2p =
(n1 − 1)s21 + (n2 − 1)s22
n1 + n2 − 2
= (12 − 1)(4
2) + (10 − 1)(52)
12 + 10 − 2 =
(11)16 + (9)25
20 = 20.05.
JORGE LUIS VILLALBA ACEVEDO Prueba de hipótesis para la media
Sol.
Sean µ1 y µ2 las respectivas medias poblacionales para las piezas
de los materiales 1 y 2. Al plantear las hipótesis del problema
obtenemos:
H0 : µ1 − µ2 ≤ 2 (versus) H1 : µ1 − µ2 > 2.
Ahora, tenemos los siguientes datos del contexto
n1 = 12 , x̄1 = 85, s21 = 16
n2 = 10 , x̄2 = 81, s22 = 25
Entonces, para el caso d0 = 2 y la varianza poblacional común
se estima como:
s2p =
(n1 − 1)s21 + (n2 − 1)s22
n1 + n2 − 2
= (12 − 1)(4
2) + (10 − 1)(52)
12 + 10 − 2 =
(11)16 + (9)25
20 = 20.05.
JORGE LUIS VILLALBA ACEVEDO Prueba de hipótesis para la media
Sol.
Sean µ1 y µ2 las respectivas medias poblacionales para las piezas
de los materiales 1 y 2. Al plantear las hipótesis del problema
obtenemos:
H0 : µ1 − µ2 ≤ 2 (versus) H1 : µ1 − µ2 > 2.
Ahora, tenemos los siguientes datos del contexto
n1 = 12 , x̄1 = 85, s21 = 16
n2 = 10 , x̄2 = 81, s22 = 25
Entonces, para el caso d0 = 2 y la varianza poblacional común
se estima como:
s2p =
(n1 − 1)s21 + (n2 − 1)s22
n1 + n2 − 2
= (12 − 1)(4
2) + (10 − 1)(52)
12 + 10 − 2 =
(11)16 + (9)25
20 = 20.05.
JORGE LUIS VILLALBA ACEVEDO Prueba de hipótesis para la media
Sol.
Sean µ1 y µ2 las respectivas medias poblacionales para las piezas
de los materiales 1 y 2. Al plantear las hipótesis del problema
obtenemos:
H0 : µ1 − µ2 ≤ 2 (versus) H1 : µ1 − µ2 > 2.
Ahora, tenemos los siguientes datos del contexto
n1 = 12 , x̄1 = 85, s21 = 16
n2 = 10 , x̄2 = 81, s22 = 25
Entonces, para el caso d0 = 2 y la varianza poblacional común
se estima como:
s2p =
(n1 − 1)s21 + (n2 − 1)s22
n1 + n2 − 2
= (12 − 1)(4
2) + (10 − 1)(52)
12 + 10 − 2 =
(11)16 + (9)25
20 = 20.05.
JORGE LUIS VILLALBA ACEVEDO Prueba de hipótesis para la media
Sol.
Sean µ1 y µ2 las respectivas medias poblacionales para las piezas
de los materiales 1 y 2. Al plantear las hipótesis del problema
obtenemos:
H0 : µ1 − µ2 ≤ 2 (versus) H1 : µ1 − µ2 > 2.
Ahora, tenemos los siguientes datos del contexto
n1 = 12 , x̄1 = 85, s21 = 16
n2 = 10 , x̄2 = 81, s22 = 25
Entonces, para el caso d0 = 2 y la varianza poblacional común
se estima como:
s2p =
(n1 − 1)s21 + (n2 − 1)s22
n1 + n2 − 2
= (12 − 1)(4
2) + (10 − 1)(52)
12 + 10 − 2 =
(11)16 + (9)25
20 = 20.05.
JORGE LUIS VILLALBA ACEVEDO Prueba de hipótesis para la media
Sol.
Sean µ1 y µ2 las respectivas medias poblacionales para las piezas
de los materiales 1 y 2. Al plantear las hipótesis del problema
obtenemos:
H0 : µ1 − µ2 ≤ 2 (versus) H1 : µ1 − µ2 > 2.
Ahora, tenemos los siguientes datos del contexto
n1 = 12 , x̄1 = 85, s21 = 16
n2 = 10 , x̄2 = 81, s22 = 25
Entonces, para el caso d0 = 2 y la varianza poblacional común
se estima como:
s2p =
(n1 − 1)s21 + (n2 − 1)s22
n1 + n2 − 2
= (12 − 1)(4
2) + (10 − 1)(52)
12 + 10 − 2 =
(11)16 + (9)25
20 = 20.05.
JORGE LUIS VILLALBA ACEVEDO Prueba de hipótesis para la media
Por tanto sp = 4.478, ademas, el valor del estadístico de
prueba esta dado por
tc =
(x̄1 − x̄2) − d0√
s2p
n1 +
s2p
n2
= (85 − 81) − 2√
20.05
12 +
20.05
10
= 1.04.
Para la prueba al nivel del 5%, tenemos que α = 0.05 y
t(α;v) = t(0.05;20) = 1.72, entonces no se rechaza la hipótesis nula
bajo un nivel de significación del 5%.
El valor P que corresponde a tc = 1.04, tenemos
p − value = P(T > 1.04) = 0.1554.
Como resultado, no se rechaza la hipótesis nula bajo un nivel de
significación del 5%.
Interpretación:
JORGE LUIS VILLALBA ACEVEDO Prueba de hipótesis para la media
Por tanto sp = 4.478, ademas, el valor del estadístico de
prueba esta dado por
tc =
(x̄1 − x̄2) − d0√
s2p
n1 +
s2p
n2
= (85 − 81) − 2√
20.05
12 +
20.05
10
= 1.04.
Para la prueba al nivel del 5%, tenemos que α = 0.05 y
t(α;v) = t(0.05;20) = 1.72, entonces no se rechaza la hipótesis nula
bajo un nivel de significación del 5%.
El valor P que corresponde a tc = 1.04, tenemos
p − value = P(T > 1.04) = 0.1554.
Como resultado, no se rechaza la hipótesis nula bajo un nivel de
significación del 5%.
Interpretación:
JORGE LUIS VILLALBA ACEVEDO Prueba de hipótesis para la media
Por tanto sp = 4.478, ademas, el valor del estadístico de
prueba esta dado por
tc =
(x̄1 − x̄2) − d0√
s2p
n1 +
s2p
n2
= (85 − 81) − 2√
20.05
12 +
20.05
10
= 1.04.
Para la prueba al nivel del 5%, tenemos que α = 0.05 y
t(α;v) = t(0.05;20) = 1.72, entonces
no se rechaza la hipótesis nula
bajo un nivel de significación del 5%.
El valor P que corresponde a tc = 1.04, tenemos
p − value = P(T > 1.04) = 0.1554.
Como resultado, no se rechaza la hipótesis nula bajo un nivel de
significación del 5%.
Interpretación:
JORGE LUIS VILLALBA ACEVEDO Prueba de hipótesis para la media
Por tanto sp = 4.478, ademas, el valor del estadístico de
prueba esta dado por
tc =
(x̄1 − x̄2) − d0√
s2p
n1 +
s2p
n2
= (85 − 81) − 2√
20.05
12 +
20.05
10
= 1.04.
Para la prueba al nivel del 5%, tenemos que α = 0.05 y
t(α;v) = t(0.05;20) = 1.72, entonces no se rechaza la hipótesis nula
bajo un nivel de significación del 5%.
El valor P que corresponde a tc = 1.04, tenemos
p − value = P(T > 1.04) = 0.1554.
Como resultado, no se rechaza la hipótesis nula bajo un nivel de
significación del 5%.
Interpretación:
JORGE LUIS VILLALBA ACEVEDO Prueba de hipótesis para la media
Por tanto sp = 4.478, ademas, el valor del estadístico de
prueba esta dado por
tc =
(x̄1 − x̄2) − d0√
s2p
n1 +
s2p
n2
= (85 − 81) − 2√
20.05
12 +
20.05
10
= 1.04.
Para la prueba al nivel del 5%, tenemos que α = 0.05 y
t(α;v) = t(0.05;20) = 1.72, entonces no se rechaza la hipótesis nula
bajo un nivel de significación del 5%.
El valor P que corresponde a tc = 1.04, tenemos
p − value = P(T > 1.04) = 0.1554.
Como resultado, no se rechaza la hipótesis nula bajo un nivel de
significación del 5%.
Interpretación:
JORGE LUIS VILLALBA ACEVEDO Prueba de hipótesis para la media
Por tanto sp = 4.478, ademas, el valor del estadístico de
prueba esta dado por
tc =
(x̄1 − x̄2) − d0√
s2p
n1 +
s2p
n2
= (85 − 81) − 2√
20.05
12 +
20.05
10
= 1.04.
Para la prueba al nivel del 5%, tenemos que α = 0.05 y
t(α;v) = t(0.05;20) = 1.72, entonces no se rechaza la hipótesis nula
bajo un nivel de significación del 5%.
El valor P que corresponde a tc = 1.04, tenemos
p − value = P(T > 1.04) = 0.1554.
Como resultado, no se rechaza la hipótesis nula bajo un nivel de
significación del 5%.
Interpretación:
JORGE LUIS VILLALBA ACEVEDO Prueba de hipótesis para la media
Ejercicio 2
Se llevó a cabo un estudio que pretendía valorar el efecto de la
presencia de un moderador sobre el número de ideas generadas por
un grupo. Se observaron cuatro miembros, con y sin moderadores.
Para una muestra aleatoria de cuatro grupos con moderador, el
número medio de ideas generadas por grupo fue de 78, con una
desviación típica de 24,4. Al mismo tiempo, que para una muestra
aleatoria independiente de cuatro grupos sin moderador, el número
medio de ideas generadas por grupo fue de 63,5, con una
desviación típica de 20,2. Asumiendo que las distribuciones
poblacionales son normales con igual varianza, contrástese la
hipótesis nula de que la verdadera media es menor o igual para los
grupos con moderador frente a la alternativa de que la verdadera
media es mayor para los grupos con moderador. Use un nivel de
significanción del 10%. Halle tambiénel P-valor.
JORGE LUIS VILLALBA ACEVEDO Prueba de hipótesis para la media
Sol.
Sean µ1 y µ2 las respectivas medias poblacionales de puntajes
promedios. Al plantear las hipótesis del problema obtenemos:
H0 : µ1 − µ2 ≤ 0 (versus) H1 : µ1 − µ2 > 0.
Ahora, tenemos los siguientes datos del contexto
n1 = 4 , x̄1 = 78, s21 = 595.36
n2 = 4 , x̄2 = 63.5, s22 = 408.04
Entonces, para el caso d0 = 0 y la varianza poblacional común
se estima como:
s2p =
(n1 − 1)s21 + (n2 − 1)s22
n1 + n2 − 2
=
(4 − 1)(24.42) + (4 − 1)(20.22)
4 + 4 − 2 =
(3)595.36 + (3)408.04
6 =
501.7.
JORGE LUIS VILLALBA ACEVEDO Prueba de hipótesis para la media
Sol.
Sean µ1 y µ2 las respectivas medias poblacionales de puntajes
promedios. Al plantear las hipótesis del problema obtenemos:
H0 : µ1 − µ2 ≤ 0 (versus) H1 : µ1 − µ2 > 0.
Ahora, tenemos los siguientes datos del contexto
n1 = 4 , x̄1 = 78, s21 = 595.36
n2 = 4 , x̄2 = 63.5, s22 = 408.04
Entonces, para el caso d0 = 0 y la varianza poblacional común
se estima como:
s2p =
(n1 − 1)s21 + (n2 − 1)s22
n1 + n2 − 2
=
(4 − 1)(24.42) + (4 − 1)(20.22)
4 + 4 − 2 =
(3)595.36 + (3)408.04
6 =
501.7.
JORGE LUIS VILLALBA ACEVEDO Prueba de hipótesis para la media
Sol.
Sean µ1 y µ2 las respectivas medias poblacionales de puntajes
promedios. Al plantear las hipótesis del problema obtenemos:
H0 : µ1 − µ2 ≤ 0 (versus) H1 : µ1 − µ2 > 0.
Ahora, tenemos los siguientes datos del contexto
n1 = 4 , x̄1 = 78, s21 = 595.36
n2 = 4 , x̄2 = 63.5, s22 = 408.04
Entonces, para el caso d0 = 0 y la varianza poblacional común
se estima como:
s2p =
(n1 − 1)s21 + (n2 − 1)s22
n1 + n2 − 2
=
(4 − 1)(24.42) + (4 − 1)(20.22)
4 + 4 − 2 =
(3)595.36 + (3)408.04
6 =
501.7.
JORGE LUIS VILLALBA ACEVEDO Prueba de hipótesis para la media
Sol.
Sean µ1 y µ2 las respectivas medias poblacionales de puntajes
promedios. Al plantear las hipótesis del problema obtenemos:
H0 : µ1 − µ2 ≤ 0 (versus) H1 : µ1 − µ2 > 0.
Ahora, tenemos los siguientes datos del contexto
n1 = 4 , x̄1 = 78, s21 = 595.36
n2 = 4 , x̄2 = 63.5, s22 = 408.04
Entonces, para el caso d0 = 0 y la varianza poblacional común
se estima como:
s2p =
(n1 − 1)s21 + (n2 − 1)s22
n1 + n2 − 2
=
(4 − 1)(24.42) + (4 − 1)(20.22)
4 + 4 − 2 =
(3)595.36 + (3)408.04
6 =
501.7.
JORGE LUIS VILLALBA ACEVEDO Prueba de hipótesis para la media
Sol.
Sean µ1 y µ2 las respectivas medias poblacionales de puntajes
promedios. Al plantear las hipótesis del problema obtenemos:
H0 : µ1 − µ2 ≤ 0 (versus) H1 : µ1 − µ2 > 0.
Ahora, tenemos los siguientes datos del contexto
n1 = 4 , x̄1 = 78, s21 = 595.36
n2 = 4 , x̄2 = 63.5, s22 = 408.04
Entonces, para el caso d0 = 0 y la varianza poblacional común
se estima como:
s2p =
(n1 − 1)s21 + (n2 − 1)s22
n1 + n2 − 2
=
(4 − 1)(24.42) + (4 − 1)(20.22)
4 + 4 − 2 =
(3)595.36 + (3)408.04
6 =
501.7.
JORGE LUIS VILLALBA ACEVEDO Prueba de hipótesis para la media
Sol.
Sean µ1 y µ2 las respectivas medias poblacionales de puntajes
promedios. Al plantear las hipótesis del problema obtenemos:
H0 : µ1 − µ2 ≤ 0 (versus) H1 : µ1 − µ2 > 0.
Ahora, tenemos los siguientes datos del contexto
n1 = 4 , x̄1 = 78, s21 = 595.36
n2 = 4 , x̄2 = 63.5, s22 = 408.04
Entonces, para el caso d0 = 0 y la varianza poblacional común
se estima como:
s2p =
(n1 − 1)s21 + (n2 − 1)s22
n1 + n2 − 2
=
(4 − 1)(24.42) + (4 − 1)(20.22)
4 + 4 − 2 =
(3)595.36 + (3)408.04
6 =
501.7.
JORGE LUIS VILLALBA ACEVEDO Prueba de hipótesis para la media
Sol.
Sean µ1 y µ2 las respectivas medias poblacionales de puntajes
promedios. Al plantear las hipótesis del problema obtenemos:
H0 : µ1 − µ2 ≤ 0 (versus) H1 : µ1 − µ2 > 0.
Ahora, tenemos los siguientes datos del contexto
n1 = 4 , x̄1 = 78, s21 = 595.36
n2 = 4 , x̄2 = 63.5, s22 = 408.04
Entonces, para el caso d0 = 0 y la varianza poblacional común
se estima como:
s2p =
(n1 − 1)s21 + (n2 − 1)s22
n1 + n2 − 2
=
(4 − 1)(24.42) + (4 − 1)(20.22)
4 + 4 − 2 =
(3)595.36 + (3)408.04
6 =
501.7.
JORGE LUIS VILLALBA ACEVEDO Prueba de hipótesis para la media
Sol.
Sean µ1 y µ2 las respectivas medias poblacionales de puntajes
promedios. Al plantear las hipótesis del problema obtenemos:
H0 : µ1 − µ2 ≤ 0 (versus) H1 : µ1 − µ2 > 0.
Ahora, tenemos los siguientes datos del contexto
n1 = 4 , x̄1 = 78, s21 = 595.36
n2 = 4 , x̄2 = 63.5, s22 = 408.04
Entonces, para el caso d0 = 0 y la varianza poblacional común
se estima como:
s2p =
(n1 − 1)s21 + (n2 − 1)s22
n1 + n2 − 2
=
(4 − 1)(24.42) + (4 − 1)(20.22)
4 + 4 − 2 =
(3)595.36 + (3)408.04
6 =
501.7.
JORGE LUIS VILLALBA ACEVEDO Prueba de hipótesis para la media
Por tanto sp = 22.399, ademas, el valor del estadístico de prueba
esta dado por tc =
(x̄1 − x̄2) − d0√
s2p
n1 +
s2p
n2
= (78 − 63.5) − 0√
501.7
4 +
501.7
4
= 0.92.
Para la prueba al nivel del 5%, tenemos que α = 0.05 y
t(α;v) = t(0.05;6) = 2.45, entonces no se rechaza la hipótesis nula
bajo un nivel de significación del 5%.
El valor P que corresponde a tc = 0.92, tenemos
p − value = P(T > 0.92) = 0.1965.
Como resultado, no se rechaza la hipótesis nula bajo un nivel de
significación del 5%.
Interpretación:
JORGE LUIS VILLALBA ACEVEDO Prueba de hipótesis para la media
Por tanto sp = 22.399, ademas, el valor del estadístico de prueba
esta dado por tc =
(x̄1 − x̄2) − d0√
s2p
n1 +
s2p
n2
= (78 − 63.5) − 0√
501.7
4 +
501.7
4
= 0.92.
Para la prueba al nivel del 5%, tenemos que α = 0.05 y
t(α;v) = t(0.05;6) = 2.45, entonces no se rechaza la hipótesis nula
bajo un nivel de significación del 5%.
El valor P que corresponde a tc = 0.92, tenemos
p − value = P(T > 0.92) = 0.1965.
Como resultado, no se rechaza la hipótesis nula bajo un nivel de
significación del 5%.
Interpretación:
JORGE LUIS VILLALBA ACEVEDO Prueba de hipótesis para la media
Por tanto sp = 22.399, ademas, el valor del estadístico de prueba
esta dado por tc =
(x̄1 − x̄2) − d0√
s2p
n1 +
s2p
n2
= (78 − 63.5) − 0√
501.7
4 +
501.7
4
= 0.92.
Para la prueba al nivel del 5%, tenemos que α = 0.05 y
t(α;v) = t(0.05;6) = 2.45, entonces
no se rechaza la hipótesis nula
bajo un nivel de significación del 5%.
El valor P que corresponde a tc = 0.92, tenemos
p − value = P(T > 0.92) = 0.1965.
Como resultado, no se rechaza la hipótesis nula bajo un nivel de
significación del 5%.
Interpretación:
JORGE LUIS VILLALBA ACEVEDO Prueba de hipótesis para la media
Por tanto sp = 22.399, ademas, el valor del estadístico de prueba
esta dado por tc =
(x̄1 − x̄2) − d0√
s2p
n1 +
s2p
n2
= (78 − 63.5) − 0√
501.7
4 +
501.7
4
= 0.92.
Para la prueba al nivel del 5%, tenemos que α = 0.05 y
t(α;v) = t(0.05;6) = 2.45, entonces no se rechaza la hipótesis nula
bajo un nivel de significación del 5%.
El valor P que corresponde a tc = 0.92, tenemos
p − value = P(T > 0.92) = 0.1965.
Como resultado, no se rechaza la hipótesis nula bajo un nivel de
significación del 5%.
Interpretación:
JORGE LUIS VILLALBA ACEVEDO Prueba de hipótesis para la media
Por tanto sp = 22.399, ademas, el valor del estadístico de prueba
esta dado por tc =
(x̄1 − x̄2) − d0√
s2p
n1 +
s2p
n2
= (78 − 63.5) − 0√
501.7
4 +
501.7
4
= 0.92.
Para la prueba al nivel del 5%, tenemos que α = 0.05 y
t(α;v) = t(0.05;6) = 2.45, entonces no se rechaza la hipótesis nula
bajo un nivel de significación del 5%.
El valor P que corresponde a tc = 0.92, tenemos
p − value = P(T > 0.92) = 0.1965.
Como resultado, no se rechaza la hipótesis nula bajo un nivel de
significación del 5%.
Interpretación:
JORGE LUIS VILLALBA ACEVEDO Prueba de hipótesis para la media
Por tanto sp = 22.399, ademas, el valor del estadístico de prueba
esta dado por tc =
(x̄1 − x̄2) − d0√
s2p
n1 +
s2p
n2
= (78 − 63.5) − 0√
501.7
4 +
501.7
4
= 0.92.
Para la prueba al nivel del 5%, tenemos que α = 0.05 y
t(α;v) = t(0.05;6) = 2.45, entonces no se rechaza la hipótesis nula
bajo un nivel de significación del 5%.
El valor P que corresponde a tc = 0.92, tenemos
p − value = P(T > 0.92) = 0.1965.
Como resultado, no se rechaza la hipótesis nula bajo un nivel de
significación del 5%.
Interpretación:JORGE LUIS VILLALBA ACEVEDO Prueba de hipótesis para la media
Teorema
Sean x̄1 y x̄2 las medias de muestras aleatorias independientes de
tamaños n1 + n2 ≤ 30 de poblaciones normales con medias µ1, µ2
y varianzas σ21, σ22 diferentes y desconocidas. Entonces, una prueba
de hipótesis con nivel de significanción α para la diferencia
µ1 − µ2, siendo
tc =
(x̄1 − x̄2) − (µ1 − µ2)√
s21
n1 +
s22
n2
= (x̄1 − x̄2) − d0√
s21
n1 +
s22
n2
JORGE LUIS VILLALBA ACEVEDO Prueba de hipótesis para la media
el estadístico de prueba correspondiente. Además, tα/2,v o tα,v es
el valor de una variable aleatoria que tiene distribución t de
Student con
v =
(
s21
n1
+ s
2
2
n2
)2
(s21 /n1)2
n1 − 1
+ (s
2
2 /n2)2
n2 − 1
− 2
grados de libertad, considerando la aproximación de Welch. A la
derecha del cual se tiene un área de α o α/2 en una distribución.
Y dado que v rara vez es un entero, debe redondearse el entero
más cercano.
JORGE LUIS VILLALBA ACEVEDO Prueba de hipótesis para la media
Ejercicio
El departamento de zoología de cierto instituto llevó a cabo un
estudio para estimar la diferencia en la cantidad de cierta sustancia
química medida en dos estaciones diferentes de un río. La
sustancia se mide en miligramos por litro. Se reunieron 15
muestras de la estación 1 y 12 muestras de la estación 2. Las 15
muestras de la estación 1 tuvieron un contenido promedio de
sustancia química de 3,84 miligramos por litro y una desviación
estándar de 3,07 miligramos por litro, mientras que las 12 muestras
de la estación 2 tuvieron un contenido promedio de 1,49
miligramos por litro y una desviación estándar de 0,80 miligramos
por litro. Al nivel del 5% determine si los contenidos promedios
reales de sutancia en estas dos estaciones son diferentes. Suponga
que las observaciones vienen de poblaciones normalmente
distribuidas con varianzas diferentes. Halle también el P-valor.
JORGE LUIS VILLALBA ACEVEDO Prueba de hipótesis para la media
Sol.
Sean µ1 y µ2 las respectivas medias poblacionales para contenidos
promedios reales de sustancias en las dos sustancias. Al plantear
las hipótesis del problema obtenemos:
H0 : µ1 − µ2 = 0 (versus) H1 : µ1 − µ2 ̸= 0.
Ahora, tenemos los siguientes datos del contexto
n1 = 15 , x̄1 = 3.84, s21 = 9.4249
n2 = 12 , x̄2 = 1.49, s22 = 0.64
Entonces, para el caso d0 = 0 y el valor del estadístico de
prueba esta dado por
tc =
(x̄1 − x̄2) − d0√
s21
n1 +
s22
n2
= (3.84 − 1.49) − 0√
9.4249
15 +
0.64
12
= 2.85.
JORGE LUIS VILLALBA ACEVEDO Prueba de hipótesis para la media
Sol.
Sean µ1 y µ2 las respectivas medias poblacionales para contenidos
promedios reales de sustancias en las dos sustancias. Al plantear
las hipótesis del problema obtenemos:
H0 : µ1 − µ2 = 0 (versus) H1 : µ1 − µ2 ̸= 0.
Ahora, tenemos los siguientes datos del contexto
n1 = 15 , x̄1 = 3.84, s21 = 9.4249
n2 = 12 , x̄2 = 1.49, s22 = 0.64
Entonces, para el caso d0 = 0 y el valor del estadístico de
prueba esta dado por
tc =
(x̄1 − x̄2) − d0√
s21
n1 +
s22
n2
= (3.84 − 1.49) − 0√
9.4249
15 +
0.64
12
= 2.85.
JORGE LUIS VILLALBA ACEVEDO Prueba de hipótesis para la media
Sol.
Sean µ1 y µ2 las respectivas medias poblacionales para contenidos
promedios reales de sustancias en las dos sustancias. Al plantear
las hipótesis del problema obtenemos:
H0 : µ1 − µ2 = 0 (versus) H1 : µ1 − µ2 ̸= 0.
Ahora, tenemos los siguientes datos del contexto
n1 = 15 , x̄1 = 3.84, s21 = 9.4249
n2 = 12 , x̄2 = 1.49, s22 = 0.64
Entonces, para el caso d0 = 0 y el valor del estadístico de
prueba esta dado por
tc =
(x̄1 − x̄2) − d0√
s21
n1 +
s22
n2
= (3.84 − 1.49) − 0√
9.4249
15 +
0.64
12
= 2.85.
JORGE LUIS VILLALBA ACEVEDO Prueba de hipótesis para la media
Sol.
Sean µ1 y µ2 las respectivas medias poblacionales para contenidos
promedios reales de sustancias en las dos sustancias. Al plantear
las hipótesis del problema obtenemos:
H0 : µ1 − µ2 = 0 (versus) H1 : µ1 − µ2 ̸= 0.
Ahora, tenemos los siguientes datos del contexto
n1 = 15 , x̄1 = 3.84, s21 = 9.4249
n2 = 12 , x̄2 = 1.49, s22 = 0.64
Entonces, para el caso d0 = 0 y el valor del estadístico de
prueba esta dado por
tc =
(x̄1 − x̄2) − d0√
s21
n1 +
s22
n2
= (3.84 − 1.49) − 0√
9.4249
15 +
0.64
12
= 2.85.
JORGE LUIS VILLALBA ACEVEDO Prueba de hipótesis para la media
Sol.
Sean µ1 y µ2 las respectivas medias poblacionales para contenidos
promedios reales de sustancias en las dos sustancias. Al plantear
las hipótesis del problema obtenemos:
H0 : µ1 − µ2 = 0 (versus) H1 : µ1 − µ2 ̸= 0.
Ahora, tenemos los siguientes datos del contexto
n1 = 15 , x̄1 = 3.84, s21 = 9.4249
n2 = 12 , x̄2 = 1.49, s22 = 0.64
Entonces, para el caso d0 = 0 y el valor del estadístico de
prueba esta dado por
tc =
(x̄1 − x̄2) − d0√
s21
n1 +
s22
n2
= (3.84 − 1.49) − 0√
9.4249
15 +
0.64
12
= 2.85.
JORGE LUIS VILLALBA ACEVEDO Prueba de hipótesis para la media
Sol.
Sean µ1 y µ2 las respectivas medias poblacionales para contenidos
promedios reales de sustancias en las dos sustancias. Al plantear
las hipótesis del problema obtenemos:
H0 : µ1 − µ2 = 0 (versus) H1 : µ1 − µ2 ̸= 0.
Ahora, tenemos los siguientes datos del contexto
n1 = 15 , x̄1 = 3.84, s21 = 9.4249
n2 = 12 , x̄2 = 1.49, s22 = 0.64
Entonces, para el caso d0 = 0 y el valor del estadístico de
prueba esta dado por
tc =
(x̄1 − x̄2) − d0√
s21
n1 +
s22
n2
= (3.84 − 1.49) − 0√
9.4249
15 +
0.64
12
= 2.85.
JORGE LUIS VILLALBA ACEVEDO Prueba de hipótesis para la media
Sol.
Sean µ1 y µ2 las respectivas medias poblacionales para contenidos
promedios reales de sustancias en las dos sustancias. Al plantear
las hipótesis del problema obtenemos:
H0 : µ1 − µ2 = 0 (versus) H1 : µ1 − µ2 ̸= 0.
Ahora, tenemos los siguientes datos del contexto
n1 = 15 , x̄1 = 3.84, s21 = 9.4249
n2 = 12 , x̄2 = 1.49, s22 = 0.64
Entonces, para el caso d0 = 0 y el valor del estadístico de
prueba esta dado por
tc =
(x̄1 − x̄2) − d0√
s21
n1 +
s22
n2
= (3.84 − 1.49) − 0√
9.4249
15 +
0.64
12
= 2.85.
JORGE LUIS VILLALBA ACEVEDO Prueba de hipótesis para la media
Para la prueba al nivel del 5%, tenemos que α = 0.05 y los grados
de libertad corresponden a v =
(
s21
n1
+ s
2
2
n2
)2
(s21 /n1)2
n1 − 1
+ (s
2
2 /n2)2
n2 − 1
− 2 =
(
3.072
15 +
0.82
12
)2
(3.072/15)2
14 +
(0.82/12)2
11
− 2 ≈ 14
Entonces t(α/2;v) = t(0.025;14) = 2.14. Por tanto se rechaza la
hipótesis nula bajo un nivel de significación del 5%.
El valor P que corresponde a tc = 2.85, tenemos
p − value = 2 ∗ P(T > 2.85) = 0.0128.
Como resultado, se rechaza la hipótesis nula bajo un nivel de
significación del 5%.
Interpretación:
JORGE LUIS VILLALBA ACEVEDO Prueba de hipótesis para la media
Para la prueba al nivel del 5%, tenemos que α = 0.05 y los grados
de libertad corresponden a v =
(
s21
n1
+ s
2
2
n2
)2
(s21 /n1)2
n1 − 1
+ (s
2
2 /n2)2
n2 − 1
− 2 =
(
3.072
15 +
0.82
12
)2
(3.072/15)2
14 +
(0.82/12)2
11
− 2 ≈ 14
Entonces t(α/2;v) = t(0.025;14) = 2.14. Por tanto se rechaza la
hipótesis nula bajo un nivel de significación del 5%.
El valor P que corresponde a tc = 2.85, tenemos
p − value = 2 ∗ P(T > 2.85) = 0.0128.
Como resultado, se rechaza la hipótesis nula bajo un nivel de
significación del 5%.
Interpretación:
JORGE LUIS VILLALBA ACEVEDO Prueba de hipótesis para la media
Para la prueba al nivel del 5%, tenemos que α = 0.05 y los grados
de libertad corresponden a v =
(
s21
n1
+ s
2
2
n2
)2
(s21 /n1)2
n1 − 1
+ (s
2
2 /n2)2
n2 − 1
− 2 =
(
3.072
15 +
0.82
12
)2
(3.072/15)2
14 +
(0.82/12)2
11
− 2 ≈ 14
Entonces t(α/2;v) = t(0.025;14) = 2.14. Por tanto
se rechaza la
hipótesis nula bajo un nivel de significación del 5%.
El valor P que corresponde a tc = 2.85, tenemos
p − value = 2 ∗ P(T > 2.85) = 0.0128.
Como resultado, se rechaza la hipótesis nula bajo un nivel de
significación del 5%.
Interpretación:
JORGE LUIS VILLALBA ACEVEDO Prueba de hipótesis para la media
Para la prueba al nivel del 5%, tenemos que α = 0.05 y los grados
de libertad corresponden a v =
(
s21
n1
+ s
2
2
n2
)2
(s21 /n1)2
n1 − 1
+ (s
2
2/n2)2
n2 − 1
− 2 =
(
3.072
15 +
0.82
12
)2
(3.072/15)2
14 +
(0.82/12)2
11
− 2 ≈ 14
Entonces t(α/2;v) = t(0.025;14) = 2.14. Por tanto se rechaza la
hipótesis nula bajo un nivel de significación del 5%.
El valor P que corresponde a tc = 2.85, tenemos
p − value = 2 ∗ P(T > 2.85) = 0.0128.
Como resultado, se rechaza la hipótesis nula bajo un nivel de
significación del 5%.
Interpretación:
JORGE LUIS VILLALBA ACEVEDO Prueba de hipótesis para la media
Para la prueba al nivel del 5%, tenemos que α = 0.05 y los grados
de libertad corresponden a v =
(
s21
n1
+ s
2
2
n2
)2
(s21 /n1)2
n1 − 1
+ (s
2
2 /n2)2
n2 − 1
− 2 =
(
3.072
15 +
0.82
12
)2
(3.072/15)2
14 +
(0.82/12)2
11
− 2 ≈ 14
Entonces t(α/2;v) = t(0.025;14) = 2.14. Por tanto se rechaza la
hipótesis nula bajo un nivel de significación del 5%.
El valor P que corresponde a tc = 2.85, tenemos
p − value = 2 ∗ P(T > 2.85) = 0.0128.
Como resultado, se rechaza la hipótesis nula bajo un nivel de
significación del 5%.
Interpretación:
JORGE LUIS VILLALBA ACEVEDO Prueba de hipótesis para la media
Para la prueba al nivel del 5%, tenemos que α = 0.05 y los grados
de libertad corresponden a v =
(
s21
n1
+ s
2
2
n2
)2
(s21 /n1)2
n1 − 1
+ (s
2
2 /n2)2
n2 − 1
− 2 =
(
3.072
15 +
0.82
12
)2
(3.072/15)2
14 +
(0.82/12)2
11
− 2 ≈ 14
Entonces t(α/2;v) = t(0.025;14) = 2.14. Por tanto se rechaza la
hipótesis nula bajo un nivel de significación del 5%.
El valor P que corresponde a tc = 2.85, tenemos
p − value = 2 ∗ P(T > 2.85) = 0.0128.
Como resultado, se rechaza la hipótesis nula bajo un nivel de
significación del 5%.
Interpretación:
JORGE LUIS VILLALBA ACEVEDO Prueba de hipótesis para la media